$lim_(xrarr0)(3*2^x - 2*3^x)^(1/x)$

A cura di: Stefano Sannella

Calcolare il limite che segue
$lim_(xrarr0)(3*2^x – 2*3^x)^(1/x)$

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E’ fondamentale in questo caso usare quest’identità
$(3*2^x – 2*3^x)^(1/x)=e^(1/x*ln(3*2^x-2*3^x))$
la quale discende direttamente dalla definizione di logaritmo.

A questo punto dobbiamo calcolare il limite dell’esponente,
$1/x*ln(3*2^x-2*3^x)$
ad esempio applicando de L’Hopital.

Procediamo
$lim_(x->0)(ln(3*2^x-2*3^x))/x$
Derivando numeratore e denominatore, abbiamo
$lim_(x->0)((3ln2*2^x-2ln3*3^x)/(3*2^x-2*3^x))/1$
Il denominatore va direttamente a $1$, mentre il numeratore tende a
$3ln2-2ln3$ ovvero
$ln2^3-ln3^2=ln(8/9)$
per cui

$lim_(x->0)(3*2^x – 2*3^x)^(1/x)=lim_(x->0)e^(1/x*ln(3*2^x-2*3^x))=e^(ln(8/9))=8/9$

FINE