A cura di: Gianni Sammito
Risolvere il seguente problema di Cauchy
${(y' = frac{y}{1 + x^2} + 2x e^{"arctg"(x)}),(y(1) = 1):}$
Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità sono soddisfatte, pertanto la soluzione a tale problema esiste ed è unica.
Data un'equazione differenziale del primo ordine, del tipo
$y' = alpha(x) y + beta(x)$
il suo integrale generale è pari a
$y = e^{A(x)} [C + int e^{-A(x)} beta(x) dx]$
dove $A(x)$ è una primitiva di $alpha(x)$ e $C in mathbb{R}$ è una costante arbitraria.
Pertanto, in questo caso l'integrale generale è
$y = e^{"arctg"(x)} [C + int e^{-"arctg"(x)} 2x e^{"arctg"(x)} dx] = e^{"arctg"(x)} [C + int 2x dx] = e^{"arctg"(x)} [C + x^2]$
Imponendo la condizione iniziale:
$1 = e^{frac{pi}{4}} (C+1)$
$C + 1 = e^{-frac{pi}{4}} quad implies quad C = e^{-frac{pi}{4}} -1$
Quindi la soluzione del problema di Cauchy è
$y = e^{"arctg"(x)} [e^{-frac{pi}{4}} -1 + x^2]$
FINE
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