Dopo aver visto cosa sono i rapporti, cerchiamo di capire cosa sono le proporzioni.
Per incominciare, una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti.
$$A:B=C:D$$
$A, B, C, D$ si dicono termini della proporzione. In particolare $A$ e $D$ si dicono estremi, mentre $B$ e $C$ si chiamano medi.
Proprietà delle proporzioni
Le proporzioni godono delle seguenti proprietà.
1) Regola fondamentale
Il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi: $Acdot D=Bcdot C$
Esempio
Consideriamo la proporzione $15:5=30:10$
Applicando la regola precendente, avrei: $15*10=5*30$ che effettivamente è ancora un'uguaglianza.
2) Proprietà dell'invertire
$A:B=C:D$ è equivalente a $B:A=D:C$:
Esempio
Si verifica facilmente come la proporzione $15:5=30:10$ sia equivalente a $5:15=10:30$
3) Proprietà del permutare gli estremi
$A:B=C:D$ è equivalente a $D:B=C:A$:
Esempio
Si verifica facilmente come la proporzione $15:5=30:10$ sia equivalente a $10:5=30:15$
4) Proprietà del permutare i medi
$A:B=C:D$ è equivalente a $A:C=B:D$:
Esempio
Si verifica facilmente come la proporzione $15:5=30:10$ sia equivalente a $15:30=5:10$
5) Proprietà del comporre
$A:B=C:D$ è equivalente a $(A+B):B=(C+D):D$ oppure $(A+B):A=(C+D):C$:
6) Proprietà dello scomporre
Supposto $A>B$, $A:B=C:D$ è equivalente a $(A+B):B=(C+D):D$ oppure $(A+B):A=(C+D):C$:
Come svolgere le proporzioni con un'incognita
Se l'incognita della proporzione è un medio, allora esso si calcola facendo il prodotto dei due estremi diviso l'altro medio
Ovvero, data la proporzione $A:x=C:D$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:
$$x=frac{Acdot D}{C}$$
Analogamente, data la proporzione $A:B=x:D$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:
$$x=frac{Acdot D}{B}$$
Se, invece, l'incognita della proporzione è un estremo, allora esso si calcola facendo il prodotto dei due medi diviso l'altro estremo
In altre parole, data la proporzione $x:B=C:D$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:
$$x=frac{Bcdot C}{D}$$
Analogamente, data la proporzione $A:B=C:x$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:
$$x=frac{Bcdot C}{A}$$
Esempio
Sappiamo che per preparare $150gr$ di marmellata di fragole occorrono $2000gr$ di fragole. Quanti grammi di fragole occorrono se volessimo preparare $250gr$ di marmellata?
Indichiamo con $x$ i chili di fragole che occorrono per preparare $250gr$ di marmellata. La proporzione si imposta dicendo che $150gr$ stanno a $2000gr$ come $250gr$ stanno a $x$. In formule scriveremo:
$$150:2000=250:x$$
Essendo l'incognita un estremo, possiamo calcolarla facendo il prodotto tra i medi e dividendo per l'altro estremo:
$$x=frac{2000*250}{150}=frac{500000}{150}=3333,33$$
Quindi, abbiamo bisogno di circa $3333gr$ di fragole per preparare $250gr$ di marmellata.
Esempio
$17$ bombole hanno gas per $30$ giorni. Se le bombole fossero $4$, quanti giorni durerebbe il gas?
Indichiamo con $x$ il numero di giorni entro cui le $4$ bombole forniscono gas. La proporzione può essere impostata nel seguente modo: $17$ bombole stanno a $30$ giorni come $4$ bombole stanno a $x$ giorni
$$17:30=4:x$$
Come prima, per calcolare $x$ facciamo il prodotto tra i medi e dividiamo per l'altro estremo:
$$x=frac{30*4}{17}=frac{120}{17}=7,06$$
Quindi, $4$ bombole fornirebbero gas per circa $7$ giorni.
Esempio
Un rubinetto impiega $2h$ e $10 m$ per riempire una vasca della capacità di $60 l$. Calcolare in quanto tempo verserebbe $40 l$.
Indichiamo con $x$ il tempo in minuti. Innanzitutto trasformiamo il tempo di $2h$ e $10 m$ in minuti
$$2h 10m=60*2+10=130m$$
Impostiamo la proporzione:
$$130:60=x:40$$
Poichè l'incognita è un medio, per calcolare $x$ facciamo il prodotto tra gli estremi e dividiamo per l'altro medio:
$$x=frac{130*40}{60}=frac{5200}{60}=86,67m$$
Trasformando $86,67m$ in ore e minuti otteniamo:
$$86,67m=1h 27m$$
Quindi, il rubinetto impiegherebbe circa $1h$ e $27m$ per versare $40l$ di acqua.
Esercizi da svolgere sulle proporzioni
1) Per partecipare a una gita scolastica, un gruppo di $32$ ragazzi deve versare una quota procapite di $16,50$ euro. Poco prima di partire, $6$ ragazzi si ritirano. A quanto ammonta adesso la quota per ragazzo?
2) Un auto impiega $3$ ore per spostarsi da Catania a Palermo alla velocità media $100km/h$. Calcolare la velocità media di un altra auto che percorre lo stesso tragitto in $2$ ore.?
3) Per la costruzione di un muro in pietra in $10$ giorni, sono necessari 15 operai. Quanti operai sono necessari se si volesse anticipare la fine dei lavori di 2 giorni?