A cura di: Stefano Sannella
Si studino i seguenti fasci di rette
$(k+1)x+(2k-1)y+k+2=0$
$(k-3)x-(2k-6)y+k=0$
Per prima cosa c'è da stabilire se si tratta di un fascio proprio o improprio.
Si ricorda che un fascio si dice proprio se le rette che lo compongono condividono il passaggio per un punto, chiamato centro del fascio.
Se il fascio è improprio, le rette sono parallele tra loro, condiviono quindi il coefficiente angolare, che è uguale per tutte.
Quindi, per stabilire la natura del fascio, occorre osservare se il coefficiente angolare (dato dal rapporto $-a/b$) dipende o meno dal parametro k: se dipende, allora non è fisso, ogni retta ha il proprio, quindi non sono parallele (fascio proprio). Se al contrario il valore del coefficiente è numerico, indipendente da k (quindi fisso), ne deduciamo appartiene a TUTTE le rette, che quindi sono parallele.
Il primo fascio risulta essere proprio perchè
$-a/b=(-(k+1))/(2k-1)=(-k-1)/(2k-1)$ dipende da k
il secondo
$-a/b=(-(k-3))/(2k-6)=(-(k-3))/(2(k-3))=-1/2$ NON dipende da k
Continuiamo a studiare il fascio proprio, svolgiamo le parentesi
$kx+x+2ky-y+k+2=0$
raccogliamo k
$k(x+2y+1)+x-y+2=0$
Se $k=0$ otteniamo la retta $x-y+2=0$
Al contrario, la retta tra parentesi $x+2y+1=0$ non potrà mai essere ottenuta: infatti dovrebbero annullarsi tutti i termini fuori dalla parentesi, ma il parametro k non può in alcun modo annullarli, come invece ha fatto con la parentesi (caso $k=0$).
Questa retta è chiamate "retta critica", è le rette che le sono molto vicine hanno un parametro k enorme.
In generale, si dice che quella retta ha k infinito $k=oo$ perchè per valori enormi, i termini fuori dalle parentesi sono in confronto piccoli, quasi insignificanti, ma non arrivano a essere nulli del tutto.
In conclusione, le rette
$x-y+2=0$
$x+2y+1$
sono dette "rette generatrici del fascio".
FINE
- Geometria analitica