Determina su un segmento di lunghezza $l$, un punto $P$ che divide il segmento stesso in...

A cura di: Stefano Sannella

Determina su un segmento di lunghezza $l$, un punto $P$ che divide il segmento stesso in due parti tali che la differenza fra i quadrati costruiti su di esse sia equivalente alla quarta parte del quadrato di lato $l$.

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Segmento $AB = l$

$P$ divide $AB$ in $AP$ e $PB$

e definiamo $AP$ il piu’ lungo tra i due.

 

Il problema dice che la differenza tra i quadrati dei segmenti ($AP^2 – PB^2$) è equivalente a $1/4AB^2$

Ora noi sappiamo che

$AB = l$ (1)

$AP + PB = AB$

quindi risulta essere

$AP + PB = l$ (2)

Segue inoltre, per quanto ci dice il problema

$AP^2 – PB^2 = 1/4AB^2$

ovvero per la (1)

$AP^2 – PB^2 = 1/4l^2$ (3)

Applichiamo ora la differenza di due quadrati nella (3)

$(AP – PB)(AP + PB) = 1/4l^2$

per la (2)

$(AP – PB)*l = 1/4l^2$

per $l != 0$ dovrà quindi necessariamente essere

$AP – PB = 1/4l$

si è diviso per $l$

 

Perciò si ha il sistema

${(AP = 1/4l + PB),(AP + PB =l):}$

sostituiamo AP nella seconda equazione del sistema e avremo

$1/4l + PB + PB = l$

$2PB = 3/4l$

$PB = 3/8l$

sotituiamo PB nell’altra equazione

$AP + 3/8l = l$

$AP = 5/8l$

quindi le due parti sono i 3/8 e i 5/8 di $l$

 

FINE