${(a/bx+b/ay=a+b),(a/by+b/ax=a+b):}$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva il seguente sistema di equazioni letterali

$a,b!=0$

Salta subito all’occhio che i secondi membri delle equazioni sono uguali, perciò possiamo tentare la strada del confronto tra primi membri.

Eseguendolo, otteniamo

$a/bx+b/ay=a/by+b/ax$

Possiamo a questo punto calcolare il minimo comune multiplo, e procedere come segue

$frac{a^2x+b^2y}{ab}=frac{b^2x+a^2y}{ab}$

Eliminando i denominatori

$a^2x+b^2y=b^2x+a^2y$

Portando da un parte tutti i termini con la $x$ e dall’alta quelli con la $y$ avremo

$a^2x-b^2x=a^2y-b^2y$

Raccogliendo al primo membro $x$ e al secondo $y$ avremo

$x(a^2-b^2)=y(a^2-b^2)$

Semplificando la parentesi, si ottiene

$x=y$

ponendo la condizione opportuna

$a^2-b^2!=0$

Questa informazione possiamo usarla inserendola in un’equazione originaria, ad esempio

$a/bx+b/ay=a+b$

siccome $x=y$ otteniamo

$a/bx+b/ax=a+b$

ovvero

$frac{a^2x+b^2x}{ab}=frac{ab(a+b)}{ab}$

togliendo i denominatori

$a^2x+b^2x=ab(a+b)$

raccogliendo $x$

$x(a^2+b^2)=ab(a+b)$

$x=frac{ab(a+b)}{a^2+b^2}$

L’incognita $y$ avrà lo stesso valore della $x$ poichè abbiamo trovato prima che

$x=y$

FINE