A cura di: Antonio Bernardo
Calcolare $lim_{n to +infty}n( n^(-1/n)-1)$
Grazie alla nota identità $x=e^(log x)$ (per $x>0$)
si ha
$n^(-1/n)=e^(log (n^(-1/n)))=e^((-log n)/n)$.
Sapendo che
$(log n)/n to 0$ se $n to +infty$ (1)
riscrivo il termine generale come
$n( n^(-1/n)-1)=n(e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n)(-log n)/n=-log n (e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n)$
Ricordando il limite notevole
$lim_{x to 0}(e^x-1)/x=1$
trovo, grazie a (1)
$lim_{n to +infty}(e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n)=1$
da cui
$lim_{n to +infty}n( n^(-1/n)-1)=lim_{n to +infty}(-log n (e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n))=-infty$.
FINE
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