A cura di: Stefano Sannella

Si studi il segno della seguente funzione
$f(x)=frac{5^(2x)-5^-frac{x}{2}}{3cdot4^x-2^(x-1)}$


Possiamo individuare l'intervallo del dominio per il quale la funzione risulta positiva. I casi restanti conferiranno negatività alla funzione, e per un caso c'è l'annullamento (numeratore pari a zero).

$f(x)=frac{5^(2x)-5^-frac{x}{2}}{3cdot4^x-2^(x-1)}>0$

 

Studiamo il segno del numeratore.
$5^(2x)-5^-frac{x}{2}>0$
$5^(2x)>5^-frac{x}{2}$
Poichè la base è maggiore di 1, l'esponente di sinistra deve risultare maggiore di quello di destra
$2x> -frac{x}{2}$
Che restituisce $x>0$.
Il numeratore risulterà invece negativo per i casi complementari, ovvero $x<0$

 

Studiamo il denominatore.
$3cdot4^x-2^(x-1)>0$
$3cdot2^(2x)-2^(x-1)>0$
Ponendo come al solito $2^x=t>0$ avremo
$3t^2-frac{t}{2}>0$
$6t^2-t>0$
$t(6t-1)$
Possiamo trascurare $t$ che non influisce sul segno, in quanto $t>0$
$6t-1>0$
$t>frac{1}{6}$
$2^x>frac{1}{6}$
$x>log_2 frac{1}{6}$

Ora, esaminando le variazioni di segno su un grafico appropriato, e sapendo che $log_2frac{1}{6}=-2,58…$
possiamo dire che la funzione è positiva nell'intervallo
$(-oo,log_2 1/6) cup (0, oo)$

 

FINE