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Le operazioni e le struttura algebriche Il raggruppamento dei simboli algebrici e la sequenza delle operazioni vengono stabiliti utilizzando diversi simboli matematici; fra questi particolare importanza rivestono le parentesi tonde ( ), quadre [ ] e graffe { }. I segni delle operazioni algebriche sono gli stessi delle corrispondenti operazioni aritmetiche: quello di addizione (+), di sottrazione (-), moltiplicazione (×) e divisione (÷). Nel caso della moltiplicazione, il simbolo “×” spesso si omette, come nell’espressione a*b*c, che rappresenta il prodotto di a, b e c, o si sostituisce con un punto, come nell’espressione a · b. La divisione si indica generalmente per mezzo di barre orizzontali o, alternativamente, di barre trasversali (/). È importante fare attenzione a quali termini si estendono le barre di divisione: ad esempio, con la scrittura a*x + b/c – d*y si intende che a*x e d*y non fanno parte della divisione rappresentata da b/c, mentre la scrittura (a*x + b)/(c – d*y) indica la frazione Per risolvere o semplificare un’espressione algebrica, per prima cosa si eseguono le moltiplicazioni, poi le divisioni, seguite dalle addizioni e dalle sottrazioni. Le parentesi vanno svolte iniziando dalle tonde, per seguire con le quadre e infine le graffe. Il tipo di parentesi corrisponde solitamente alla posizione che questa occupa: le parentesi più interne sono dunque le tonde, per seguire con le quadre e le graffe, come indica l’esempio qui sotto: Nelle operazioni tra polinomi valgono le comuni leggi dell’aritmetica, ma, mentre il dominio di applicazione dell’aritmetica è l’insieme dei numeri razionali, l’algebra e la geometria utilizzano i numeri reali, ovvero l’insieme dei numeri razionali e irrazionali, e i numeri complessi. Le cose dette qui di seguito sono molto simili agli assiomi dell’aritmetica, ma formalmente esistono delle differenze, che non analizzeremo. La somma di due numeri reali a e b è ancora un numero reale, che si indica con a + b. I numeri reali sono chiusi rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione: ciò significa che applicando una di queste operazioni a numeri reali si ottiene come risultato un numero reale. Vale la proprietà associativa dell’addizione, ossia il raggruppamento dei termini di una somma non incide sul risultato. Così vale che: a + b + c = a + (b + c) Dato un numero reale a, esiste un numero reale detto identità additiva, lo zero (0), o elemento neutro rispetto all’addizione, tale che: a + 0 = 0 + a = a Per ogni numero reale a, esiste un numero detto l’inverso additivo di a (-a), o elemento opposto di a, tale che (a) + (-a) = 0 Vale la proprietà commutativa dell’addizione, ossia l’ordine dei termini della somma non influisce sul risultato dell’operazione: a + b = b + a Qualunque insieme di numeri che goda delle prime quattro proprietà si dice gruppo. Se vale anche la quinta proprietà, l’insieme si dice gruppo abeliano, o commutativo. Per la moltiplicazione valgono leggi simili a quelle dell’addizione. Il prodotto di due numeri reali a e b è ancora un numero reale, che si indica con a · b o a*b (l’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione). Vale la proprietà associativa della moltiplicazione, ovvero: (a*b)*c = a*(b*c) Dato un numero reale a, esiste un numero reale detto identità moltiplicativa (1) o elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, tale che: a*(1) = 1*(a) = a Per ogni numero reale a diverso da zero, esiste un numero reale detto inverso moltiplicativo (che si indica con a^(-1) o 1/a) o semplicemente l’inverso di a, tale che: a*(a^(-1)) = (a^(-1))*a = 1 Vale la proprietà commutativa della moltiplicazione, ossia l’ordine dei fattori non modifica il risultato della moltiplicazione: a*b = b*a Qualunque insieme di elementi che obbedisca a queste cinque leggi è un gruppo abeliano, o commutativo, rispetto alla moltiplicazio (segue nel file da scaricare)
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