Al tempo di Gauss, l'algebra era ormai entrata nella sua fase moderna; l'attenzione degli studiosi si era infatti spostata dal problema della risoluzione delle equazioni polinomiali allo studio della struttura di sistemi matematici astratti i cui assiomi stabilivano il comportamento di oggetti matematici, quali ad esempio i numeri complessi. Due esempi di simili sistemi sono i gruppi e i quaternioni, che vantano alcune proprietà in comune con i sistemi numerici, ma che differiscono da questi ultimi per le particolarità delle operazioni su di essi definite. I
l concetto di gruppo scaturì dall’ordinamento delle permutazioni e combinazioni delle radici dei polinomi, e nel XIX secolo divenne uno dei più importanti concetti di unificazione delle strutture matematiche. Contributi essenziali al loro studio vennero dati dai francesi Galois e Augustin Cauchy, dal britannico Arthur Cayley e dai norvegesi Niels Abel e Sophus Lie. I quaternioni, scoperti dal matematico e astronomo britannico William Rowan Hamilton, possono essere considerati l'estensione dell'aritmetica dei numeri complessi; infatti, mentre questi ultimi si scrivono nella forma a + b*i, i quaternioni, o numeri ipercomplessi, sono oggetti matematici del tipo a + b*i + c*j + d*k.
Immediatamente dopo la scoperta di Hamilton, il matematico tedesco Hermann Grassmann intraprese lo studio dei vettori. Nonostante il carattere prettamente astratto della teoria, il fisico americano Josiah Willard Gibbs riconobbe nell'algebra dei vettori un sistema di grande utilità per lo studio della fisica, proprio come Hamilton aveva riconosciuto l'importanza dei quaternioni. L'influenza di questo approccio astratto alla matematica portò George Boole a scrivere Le leggi del pensiero (1854), un trattato di algebra sulla logica fondamentale. A partire da allora, l'algebra moderna, detta anche algebra astratta, ha continuato a svilupparsi. Sono stati raggiunti nuovi risultati e la materia è stata applicata a tutti i rami della matematica e a molte altre scienze.
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