A cura di: Stefano Sannella
Si trovino gli eventuali asintoti della funzione
$f(x)=(lnx -1)/(lnx +1)$
Per quanto riguarda gli asintoti obliqui, non ce ne sono. Infatti, se esistessero, avrebbero equazione
$y=mx+q$
con
$m=lim_(x->+infty)1/x*(lnx-1)/(lnx+1)=lim_(x->+infty)1/x*lim_(x->+infty)(lnx-1)/(lnx+1)=1*lim_(x->+infty)1/x$=
$1*0=0$
Cerchiamo eventuali asintoti orizzontali e verticali
I punti di accumulazione sono $infty$, $0$ e $e^(-1)$, infatti per questo valore attribuito all’ascissa il denominatore assume valore nullo.
Iniziamo con
$lim_{x to + infty} (lnx -1)/(lnx +1) =lim_{x to + infty} (1/x)/(1/x) =1$
usando la regola di De L’Hopital – Bernoulli.
Tuttavia potevamo anche procedere semplicemente notando che i valori $-1$ e $1$ perdono di significato vicino all’infinito del logaritmo, quindi avremmo avuto
$lim_{x to + infty} (lnx -1)/(lnx +1)=lim_{x to + infty} lnx/lnx=1$
Ecco un asintoto orizzontale, $y=1$ per $x to + infty$.
Ora passiamo a
$lim_{x to e^(-1)} (lnx -1)/(lnx +1) = lim_{x to e^(-1)} -2/(lnx +1) = $
$= + infty$ se x tende a $e^(-1)$ da sinistra
$= – infty$ se x tende a $e^(-1)$ da destra (è quel -2 a numeratore a determinare il segno).
Questo è un asintoto verticale.
Infine
$lim_{x to 0^+} (lnx -1)/(lnx +1) =$ (usando De L’Hopital – Bernoulli) $lim_{x to 0^+} (1/x)/(1/x) =1$
In questo caso però non si tratta di asintoto orizzontale, in $x=0$ la funzione non è definita, però tende ad assumere il valore $f(x)=1$.
- Studio di Funzione