A cura di: Stefano Sannella
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Si calcoli
$lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)$
Vediamo che innanzitutto, procedendo per sostituzione
$lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)=0/0$
si ottiene una forma indeterminata.
Vediamo che è presente un valore assoluto con argomento $x-1$
Discutiamolo, supponenedo prima che $x$ tenda a $1$ da sinistra, ovvero $x->1^-$
Si ha a questo punto
$x-1<0$, quindi $|x-1|=-x+1$.
In questo caso: $lim_(x to 1^-)(x^2-x+1-1)/(x-1)=lim_(x to 1^-)(x(x-1))/(x-1)=lim_(x to 1^-)x=1$.
I calcoli sono abbastanza semplici.
Ora immaginiamo che $x$ tenda a $1$ da destra, quindi $x->1^+$
quindi si ha che
$x-1>0$
e $|x-1|=x-1$
Procediamo:
$lim_(x to 1^+)(x^2+x-1-1)/(x-1)=lim_(x to 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)$.
Scomponendo in fattori il numeratore, ottieniamo:
$lim_(x to 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)=lim_(x to 1^+)((x-1)(x+2))/(x-1)=lim_(x to 1^+)x+2=3$.
Dato che i limiti "da sinistra" e "da destra" sono diversi, il limite per $x->1$ non esiste.
Possiamo dire che la funzione è discontinua in $1$, e la discontinuita è del tipo "con salto", prima specie.
FINE
- Studio di Funzione