$f(x)=log_3(cosx+2)$

A cura di: Stefano Sannella

Studiare la funzione seguente

1)Dominio

La funzione coseno è continua e il suo dominio è l’asse reale, mentre il logaritmo necessita di argomento positivo strettamente

$cosx+2>0$

$cosx> -2 Rightarrow forall x in RR$

Infatti il coseno assume valori compresi tra $-1$ e $1$, quindi in ogni caso maggiori di $-2$

2)Intersezioni con l’asse $x$ e succesivamente con l’asse $y$

Per il primo si ha

${(y=0),(y=log_3(cosx+2)):}$

ovvero

$log_3(cosx+2)=0$

cioè, poichè la funzione logaritmo è nulla se il proprio argomento assume valore 1,

$cosx+2=1$

$cosx=-1$ $<=>$ $x=pi+2kpi$

Per quanto riguarda ‘intersezione con l’asse $y$ si ha

${(x=0),(y=log_3(cosx+2)):}$

$log_3(cos0+2)=log_3 3=1$

pertanto il punto cercato ha coordinate$(0,1)$

3)Positività:

$ log_3(cosx+2)>0$ implica che

$cosx> -1$ $->$ $ AAx in RR-{pi+2kpi}$

4)Non ci sono asintoti verticali, orizzontali od obliqui

5) Crescenza e decrescenza:

Studiamo il segno della derivata prima

$y’=1/ln3*(-senx)/(cosx+2)$

Quindi

$y’>0$ $->$ $-senx>0$ $->$ $senx<0$ $<=>$ $pi+2kpi<x<2pi+2kpi$ da cui $(pi+2kpi,0)$ sono minimi e $(2pi+2kpi,1)$ sono massimi.

$cosx+2$ è stato trascuarato durante lo studio del segno in quanto strettamente positivo.

6)Flessi:

$y”=-1/ln3*(cosx(cosx+2)-senx*(-senx))/(cosx+2)^2=-1/ln3*(1+2cosx)/(cosx+2)^2$.

Ora

$y”=0$ solo se

$cosx=-1/2$ che restituisce

$x=+-(2pi)/3+2kpi$

che sono punti di flesso

FINE