Matematico di origine ungherese, figlio di un matematico di talento di nome Farkas, imparò la matematica assai precocemente e all'età di tredici anni già padroneggiava le tecniche dell'analisi.
All'età di trenta scrisse un importante lavoro sulla geometria non-euclidea, in appendice ad un trattato del padre. In questo lavoro egli espose un nuovo tipo di geometria, in seguito detta iperbolica, che rinunciava al postulato di Euclide sulle parallele; nella nuova geometria data una retta ed un punto esterno ad essa esistono infinite rette parallele alla retta data.
La scoperta delle geometrie non-euclidee, fatta nello stesso periodo anche da C. F. Gauss e N. I. Lobacevskij, rappresentò uno dei momenti di maggior progresso in questo settore, poi culminato nella concezione più generale dovuta a G. F. B. Riemann.
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