Una particella P viaggia a velocità costante su un cerchio di raggio 3.00 m, compiendo una rivoluzione ogni 20.0 s. Passa per il punto O all’istante t=0. (a) Trovare modulo e direzione del vettore posizione rispetto a O per t=5.00 s e t=7.50 s. (b) Per l’intervallo di 5.00 s dalla fine del 5° alla fine del 10° secondo, trovare lo spostamento e velocità media. (c) Alla fine di questo intervallo, trovare la velocità e l’accelerazione istantanea.

(a) Assumendo il punto O come riferimento e sapendo che il periodo è di 20.0 s, possiamo individuare la posizione del punto dopo 5.00 s. Esso si troverà a un quarto di giro dopo O (infatti 5.00 s sono la quarta parte del periodo). Il vettore spostamento sarà pertanto la corda OO’, cioè il lato del quadrato inscritto: [ OO'=rsqrt{2}=3.00cdotsqrt{2}=4.24, m ] dopo 7.50 s il punto O si sarà spostato di modo che la corda OO" sottende un angolo al centro di 135°. La sua lunghezza si può calcolare con il teorema della corda sapendo che l’angolo alla circonferenza sotteso dalla stessa corda è metà dell’angolo al centro, cioè 67.5°; oppure attraverso il modello geometrico nella figura sotto:

il triangolo OQP è isoscele, il triangolo CHP è rettangolo isoscele, per cui CH, lato del quadrato di diagonale CP, è $$CH=frac{3.00, m}{sqrt{2}}=2.12, m$$ e l’altezza OH=3.00+2.12 m=5.12 m. Inoltre, osservando che CH=HP, si può ricavare OP con il th. di Pitagora [ OP=sqrt{left(5.12^{2}+2.12^{2}right), m^{2}}=5.54, m ]

(b) in questo intervallo, dalla fine del 5° alla fine del 10° secondo, la particella percorre un quarto di giro; lo spostamento è dato dal vettore che congiunge i punti O’y il cui modulo è pari al lato del quadrato inscritto, cioè [ s=3.00cdotsqrt{2}=4.24, m ] l’angolo formato è di 135°. La velocità vettoriale media è [ v=frac{4.24, m}{5.00, s}=0.85, s ] nella stessa direzione dello spostamento (c) la velocità istantanea alla fine di tale intervallo, cioè dopo 10 s, si ha [ v=frac{2pi r}{T}=frac{2picdot3.00, m}{20.00, s}=0.94,frac{m}{s} ] l'accelerazione sarà [ a=frac{v^{2}}{r}=frac{0.94^{2},frac{m^{2}}{s^{2}}}{3.00, m}=0.30,frac{m}{s^{2}} ]