Si spara una palla da terra in aria. All’altezza di 9.1 m si osserva una velocità $$overrightarrow{v}=7.6overrightarrow{i}+6.1overrightarrow{j}, m/s$$ Calcolare la massima elevazione e la distanza orizzontale complessiva percorsa. Determinare inoltre la velocità della palla nell’istante prima di cadere a terra.

Soluzione:

La velocità è espressa mediante il vettore; da questo deduciamo le componenti orizzontali e verticali [ begin{array}{c} v_{x}=7.6,frac{m}{s}\ v_{y}=6.1,frac{m}{s} end{array} ] sappiamo che la componente orizzontale si mantiene costante. La componente verticale varia secondo le leggi del moto accelerato [ v_{y}^{2}=v_{0}^{2}sin^{2}theta_{0}-2gleft(y-y_{0}right) ] da cui [ v_{0y}^{2}=v_{0}^{2}sin^{2}theta_{0}=v_{y}^{2}+2gleft(y-y_{0}right)=6.1^{2},frac{m^{2}}{s^{2}}+2cdot9.8,frac{m}{s^{2}}cdot9.1, m=229.3,frac{m^{2}}{s^{2}} ] la massima elevazione è data da [ H=frac{v_{0}^{2}sin^{2}theta_{0}}{2g}=frac{229.3,frac{m^{2}}{s^{2}}}{19.6,frac{m}{s^{2}}}=11.7, m ] La distanza complessiva è rappresentata dalla gittata [ R=frac{v_{0}^{2}sin2theta_{0}}{g} ] ora $$v_{0}^{2}sin2theta_{0}=2v_{0}^{2}sintheta_{0}costheta_{0}=2v_{0}costheta_{0}cdot v_{0}sintheta_{0}=2v_{0x}cdot v_{0y}=2v_{x}cdot v_{0y}$$, per la costanza della componente orizzontale. Pertanto [ R=frac{2cdot7.6,frac{m}{s}cdotsqrt{229.3},frac{m}{s}}{9.8,frac{m}{s^{2}}}=23.5, m ] Infine, la velocità prima dell’impatto corrisponde al valore assoluto massimo della componente verticale. Poiché nel punto di massima elevazione, la componente verticale della velocità è nulla, possiamo considerare la palla che cade da 11.7 m con partenza da fermo, per ottenere la velocità [ v_{y}=-sqrt{2gy}=-sqrt{2cdot9.8,frac{m}{s^{2}}cdot11.7, m}=-15.1,frac{m}{s} ] la velocità, espressa vettorialmente, sarà [ overrightarrow{v}=7.6overrightarrow{i}-15.1overrightarrow{j}, m/s ] il suo modulo sarà [ v=sqrt{7.6^{2}+left(-15.1right)^{2}}=17.0,frac{m}{s} ] con [ theta=arctanleft(frac{-15.1}{7.6}right)=63{^circ} ] sotto il piano orizzontale.