Le serie convergenti godono di alcune proprietà che permettono di operare con esse come se fossero somme finite.
I proprietà: Se la serie uk ha somma S, allora la serie vk, con vk = auk ha somma S' = aS. Per esempio se
S=1+1/2+1/4+1/8+…=1/(1-1/2)=2
allora
S'=3S=3+3/2+3/4+3/8+…=3/(1-1/2)=6
II proprietà: Le serie convergenti si possono sommare o sottrarre. Se la serie uk ha somma S e la serie vk ha somma R, la serie wk , con wk = uk+vk ha somma S' = S+R. Per esempio se
S=1+1/3+1/9+1/27+…= 1/(1-1/3)=3/2
R=1+2/3+4/9+8/27+…= 1/(1-2/3)=3
allora
S'=2+1+5/9+1/3+…= S+R=3/2+3=9/2
III proprietà: La proprietà di convergenza o divergenza non cambia se si aggiunge o sottrae un numero finito di termini alla serie (Cambia tuttavia il valore della somma). Per esempio se
S=1+1/2+1/4+1/8+…=1/(1-1/2)=2
S'=(2+3+4)+1+1/2+1/4+1/8+…=(9)+1/(1-1/2)=9+2=11
IV proprietà: Il termine generico uk di una serie convergente tende a zero quando k tende all'infinito. La condizione è necessaria per la convergenza della serie, ma non sufficiente; per esempio, la serie armonica verifica la condizione uk->0, ma è divergente.
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