A cura di: Stefano Sannella
Si risolva
$2cos^2x+|cosx| lt sin^2x-cosx$
La disequazione è abbastanza comune, anche se è presente un valore assoluto che richiede la discussione dell’argomento.
Iniziamo a distinguere i due casi
Se $cosx>0$
la disequazione diventa
$2cos^2x+cosx<sin^2x-cosx$ cioè
$2cos^2x+2cosx-sen^2x<0$ che diventa
$3cos^2x+2cosx-1<0$ cioè, una volta trovate le radici, equivale a
$-1<cosx<1/3$
Ma non dobbiamo dimenticare la condizione iniziale $cosx>0$ che restringe l’intervallo trovato in $0<cosx<1/3$ (si è eseguita l’intersezione dei due insiemi di valori di $cosx$)
cioè
$arccos(1/3)+2kpi<x<pi/2+2kpi$ oppure $3pi/2+2kpi<x<(2pi-arccos(1/3))+2kpi$
Se $cosx<0$ allora la disequazione diventa
$2cos^2x-cosx<sin^2x-cosx$ cioè
$2cos^2x-sen^2x<0$ ovvero
$3cos^2x-1<0$ che è soddisfatta se
$-sqrt(3)/3<cosx<sqrt(3)/3$
Ma anche questa volta dobbiamo restringere il campo, perchè abbiamo pur sempre che $cosx<0$.
Pertanto la disequazione è soddisfatta per quei $x$ tali che $-sqrt(3)/3<cosx<0$ cioè
$pi/2+2kpi<x<arcos(-sqrt(3)/3)+2kpi$ oppure $(2pi-arcos(-sqrt(3)/3))+2kpi<x<3pi/2+2kpi$
Le suddette soluzioni possono essere raggruppate, per cui la disequazione finale è soddisfatta per:
$arcos(1/3)+2kpi<x<arcos(-sqrt(3)/3)+2kpi$ oppure $(2pi-arcos(-sqrt(3)/3))+2kpi<x<(2pi-arcos(1/3))+2kpi$
Se infine
$cosx=0$
la disequazione diventa $sin^2x>0$ che è vera $AAx -{kpi+2kpi}$
FINE
- Trigonometria