$2+sqrt(3) +4(senxcosx-senx-cosx)=0$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva la seguente equazione simmetrica

Poniamo

$x=pi/4+z$

da cui avremo che

$sinx=sin(pi/4+z)=sin(pi/4)cosz+cos(pi/4)sinz=(sqrt2)/2(cosz+sinz)$

Inoltre

$cosx=cos(pi/4+z)=cos(pi/4)cosz-sin(pi/4)sinz=(sqrt2)/2(cosz-sinz)$

E infine

$sinxcosx=1/2(cos^2z-sin^2z)=1/2(2cos^2z-1)=cos^2z-1/2$

per cui l’equazione originaria diventa

$2+sqrt3+4(cos^2z-1/2-sqrt2cosz)=0$

Sviluppando la parentesi

$4cos^2z-4sqrt2cosz+sqrt3=0$

Risolvendo rispetto a $cosz$

$cosz=(2sqrt2+-sqrt(8-4sqrt3))/4=(2sqrt2+-sqrt2(sqrt3-1))/4$

cioè

$cosz=(sqrt2+sqrt6)/4$

$cosz=(3sqrt2-sqrt6)/4$

Ora $cosz=(sqrt2+sqrt6)/4

Comporta

$z=+-pi/12+2kpi$

mentre

$cosz=(3sqrt2-sqrt6)/4$

porta a

$z=+-7/20pi+2kpi$

Per cui ricordando che

$x=z+pi/4$

otteniamo

$x=pi/4+-pi/12+2kpi$

ovvero, considerando separatamente il caso + e il caso –

$x=pi/6+2kpi=30+k*360$

$x=pi/3+2kpi=60+k*360$

Facendo analogamente con l’altra soluzione $z$ avremo

$x=pi/4+-7/20pi+2kpi$

ovvero

$x=3/5pi+2kpi=108+k*360$

$x=-pi/10+2kpi=-18+k*360$

FINE