A cura di: Stefano Sannella
Si risolva l’equazione
$logsinx+logsin2x=logcosx+1$
Il logaritmo è da intendersi in base 2
La prima cosa da fare è definire il dominio.
In particolare, la funzione logaritmo richiede che l’argomento sia positivo
${(sinx>0),(sin2x>0),(cosx>0):}$
${(0<x<pi+kpi),(0<x<pi/2+kpi/2),(0<x<pi/2+2kp U 3/2pi+2kpi<x<2pi+2kpi):}$
Queste tre disequazioni sono soddisfatte contamporaneamente se il valore di $x$ risulta essere
$2kpi<x<pi/2+2kpi$
Basta riportare su una retta i risultati delle tre disequazioni, per pervenire al risultato finale.
Quanto all’equazione logaritmica
$logsinx+logsin2x=logcosx+1$
Applichiamo la proprietà del logaritmo secondo la quale
$loga+logb=log(ab)$
E otteniamo
$logsinxsin2x=logcosx+log2$
$log(sinx*sin2x)$=log(2*cosx)$
Affinchè i due membri risultino uguali, bisogna che si eguaglino gli argomenti dei due logaritmi
$sinx*sin2x$=2*cosx$
Sviluppando
$sinx*2*sinxcosx-2cosx=0$
Dividendo per $2$ e raccogliendo $cosx$
$cosx(sin^2x-1)=0$
Per la legge d’annullamento del prodotto abbiamo
$cosx=0$
soddisfatta per
$x=pi/2+kpi$
ma le condizioni imposte non coinvolgono tale valore (d’altra parte nell’equazione iniziale vediamo bene che un argomento è proprio $cosx$ che quindi non può annullarsi, in quanto non ha senso $log0$)
L’altro fattore su cui applicare l’annullamento del prodotto è $sin^2x-1$
$sin^2x-1=0$
$(sinx-1)(sinx+1)=0$
soddisfatta per
$sinx=1$ ovvero
$x=pi/2+2kpi$
Oppure soddisfatta per
$sinx=-1$ ovvero per
$x=3/2pi+2kpi$
Si vede bene che nemmeno queste due soluzioni sono accettabili.
L’equazione non ammette soluzioni accettabili.
FINE
- Trigonometria