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Matematica e logica In un primo tempo, Russell fu influenzato dall’idealismo di Bradley e di Mc Taggart, che poi abbandonò, anche per via dell’influsso di Moore, aderendo ad una ‘posizione realistica’ , che riconosce l’esistenza della pluralità di oggetti, con i quali hanno a che fare l’esperienza comune e il sapere matematico. Ad avviso di Russell, alla base del monismo di Bradley c’é una logica erronea, che privilegia la forma soggetto-predicato: per Bradley infatti ogni proposizione attribuisce un predicato alla realtà assoluta, intesa come l’unico soggetto. Ma il nostro linguaggio ha non solo proposizioni del tipo soggetto-predicato, ma anche proposizioni che fanno riferimento a relazioni di maggiore e minore, di prima e dopo e così via. Un termine, che può assumere o no qualcuna di queste relazioni, deve rimanere invariato, ma allora ne consegue che, contrariamente a quanto aveva pensato Bradley, nessuna relazione modifica i termini tra i quali intercorre. Se ad esempio si esamina la proposizione ‘A é maggiore di B’ , si vede che questa relazione non é l’attribuzione di una qualità o proprietà ad un soggetto e, quindi, non é riducibile alla forma soggetto-predicato, in quanto dipende sia da A sia da B. Questo vuol dire che questa relazione é esterna sia ad A sia a B, cioè collega tra loro entità che sussistono indipendentemente da tale relazione: l’universo é dunque popolato di termini, cioè di entità, che in questa fase del suo pensiero Russell considera analoghe alle idee platoniche, le quali sono caratterizzate da relazioni esterne tra loro, ossia tali da non produrre una loro modificazione interna: e Russell afferma che ‘ il mondo improvvisamente diventò vario, ricco e solido ‘. Solo una logica delle relazioni può rendere conto della stessa operazione del contare, consistente nel porre in relazione termine a termine, e consentire in questo modo l’analisi di intere regioni della matematica, nelle quali sono essenziali le nozioni di ordine e di successione, per esempio tra numeri o tra punti, le quali non sono descrivibili nei termini della logica di soggetto-predicato. Al calcolo delle proposizioni e al calcolo delle classi, già ampiamente illustrato dalla logica simbolica, Russell affianca dunque una logica delle relazioni, caratterizzate dall’uso di simboli appropriati e i cui antecedenti possono essere ravvisati soprattutto nell’opera di Peirce. Russell riscontra vari tipi di relazioni: in primis distingue tra relazioni simmetriche e asimmetriche ; prendiamo R come simbolo per indicare la relazione e a e b per indicare i termini tra i quali essa intercorre: una relazione si dice simmetrica quando, se vale aRb , allora vale pure bRa e viceversa; di questo tipo é per esempio la relazione ‘fratello di’; infatti, se Giorgio é fratello di Marco, Marco é fratello di Giorgio. Una relazione si dice invece asimmetrica quando questo non vale: per esempio, se Giorgio é padre di Marco, allora Marco non é padre di Giorgio. Inoltre alcune relazioni godono della proprietà transitiva , per cui se aRb e bRc , allora aRc , mentre altre non ne godono. Ad esempio, godono della relazione transitiva le relazioni di maggiore e di minore: infatti se A é maggiore di B e B é maggiore di C, allora A é maggiore di C. Non si può invece concludere ad esempio che se A é padre di B e B é padre di C, allora A é padre di C ; qui non vale la proprietà transitiva. Nella sfera della logica proposizionale Russell introduce la distinzione tra proposizione e funzione proposizionale : quest’ultima é un’espressione avente ad esempio la forma ‘x é un uomo’ , dove x é una variabile sostituibile da un termine definito, detto costante , ad esempio dal termine ‘Socrate’, dando luogo alla proposizione ‘Socrate é un uomo’. Russell non restringe il rango delle entità delle entità che possono essere sostituite alla variabile in una funzione proposizionale; l’unica condizione é che la condizione sia ‘ qualcosa di assolutamente definito, riguardo al quale non vi é (segue nel file da scaricare)
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