$sin^2x-sin^2y=sen(x+y) sen(x-y)$

A cura di: Stefano Sannella

Si provi la seguente identità goniometrica

Partiamo dal secondo membro per ricondirci al primo.

Sviluppiamolo usando le note formule

$sin(x+y) sin(x-y)=(sinx cosy + cosx siny) (sinx cosy – cosx siny)$

Ora proseguiamo, calcolando il prodotto tra le parentesi

$sin^2 x cos^2 y -cos^2 x sin^2 y$

Ora aggiungiamo e sottraiamo un termine misto, al fine di poter raccogliere.

E’ un trucchetto algebrico che spesso si usa quando si è in difficoltà. Questo termine misto è $sin^2 x*sin^2 y$

$sin^2 x cos^2 y -cos^2 x sin^2 y +sin^2 x sin^2 y -sin^2 x sin^2 y =$

$= sin^2 x (cos^2 y + sin^2 y) – sin^2 y (cos^2 y + sin^2 y )$

Rircordando che la somma del quadrato del seno e del quadrato del coseno è sempre $1$, perciò abbiamo ottenuto il primo membro.

Per fare il termine misto abbiamo preso un elemento del primo addendo ( il $sin^2 x$ da $sin^2 x cos^2 y$)

e uno dal secondo (il $sin^2 y$ da $cos^2 x sin^2 y$).

Se non si avesse pensato a sommare e sottrarre quel termine, potevamo procedere anche come segue

$sin^2xcos^2y-sin^2ycos^2x=sin^2x(1-sin^2y)-sin^2y(1-sin^2x)=$

$=sin^2x-sin^2xsin^2y-sin^2y+sin^2xsin^2y=sin^2x-sin^2y$

FINE