Matematica

  • Materia: Matematica
  • Visualizzato: 1198 volte
  • Data: 2014-09-24
  • Autore: Samuel Leanza

Polinomio

Cos'è un polinomio: spiegazione con esempi ed esercizi

Dopo aver visto cosa sono i monomi, possiamo procedere con i polinomi.

Un polinomio è la somma algebrica di più monomi.

$2abc^2+4c^3$, $-\frac{3}{2}b^2c-3ab+7$ e $-2x^3y+\frac{1}{2}y-z+2$ sono tutti polinomi.
 

Tipi di polinomio: binomio e trinomio

Un polinomio si dice binomio se è somma algebrica di due monomi (es: $4x-3y$), si dice trinomio se è somma algebrica di tre monomi (es: $5z+2-3x$), ecc...

Tipi di polinomio: in forma normale

Un polinomio si dice ridotto in forma normale} se in esso non compaiono somme fra monomi simili. Ad esempio, il polinomio $2abc^2+4c^3-2b$ è ridotto in forma normale. Invece, il polinomio $2abc^2+4c^3-2b+\frac{1}{4}c^3$ non è ridotto in forma normale.

Grado di un polinomio

Si dice grado di un polinomio il massimo grado dei monomi che lo compongono. Il polinomio $2abc^2+4c^3-2b$ ha grado $4$ perchè il massimo grado che compare è quello relativo al monomio $2abc^2$ che, appunto, ha grado $4$.

Vediamo, adesso, come risolvere le espressioni algebriche in cui compaiono le quattro operazioni tra monomi e polinomi

Espressioni algebriche con monomio e polinomio:

Vediamo adesso un po' di esercizi risolti di espressioni algebriche con monomi e polinomi.

  • 1) $2(3a^3+5a^2-2a+1)-(3a^3-2a^2+5a-7)$
  • 2) $\frac{1}{3}x^2\left(\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{2}x+6\right)$
  • $3) (3a-2b)\frac{1}{3}a-a^2+\frac{2}{3}b(2a-3b)-4(b^2-\frac{1}{3}ab)$

Svolgiamo la 1):

$\begin{array}{l} 2(3a^3+5a^2-2a+1)-(3a^3-2a^2+5a-7)=\\ =6a^3+10a^2-4a+2-3a^3+2a^2-5a+7=\\ =3a^3+12a^2-9a+9 \end{array}$

Svolgiamo la 2):

$\begin{array}{l} \frac{1}{3}x^2\left(\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{2}x+6\right)=\\ =-\frac{1}{12}x^4+\frac{3}{2}x^3-2x^2 \end{array}$

Svolgiamo la 3):

$\begin{array}{l} (3a-2b)\frac{1}{3}a-a^2+\frac{2}{3}b(2a-3b)-4(b^2-\frac{1}{3}ab)= \\ =a^2-\frac{2}{3}ab-a^2+\frac{4}{3}ab-2b^2-4b^2+\frac{4}{3}ab= \\ =2ab-6b^2 \end{array}$
 

Esercizi sulle espressioni letterali

  • $2(4x^3-5x^2+2)+(-3x^2+2x^2-2)$
  • $4a^3\left(\frac{1}{8}a^2-\frac{3}{2}a+2\right)$
  • $\frac{5}{4}a\left(\frac{8}{15}x^3-\frac{8}{5}x^2y\right)+(xa^2-5)x-\frac{2}{3}x^2a\left(x-3y+\frac{3}{2}a\right)$