A cura di: Stefano Sannella
Ad inizio anno, in una certa scuola si forma una classe di 20 alunni
1)Gli studenti devono essere divisi in 4 gruppi, due da $6$ e due da $4$. In quanti modi è possibile suddividerli?
2)Si devono eleggere 4 ragazzi: due rappresentanti e due vicerappresentanti. Determinare in quanti modi è possibile scegliere i 4 ragazzi, sapendo che ovviamente uno studente non può ricoprire la carica di rappresentante e di vice (i 4 devono essere tutti distinti).
1)
I ragazzi sono venti.
Supponiamo che l’insegnante decida i primi sei ragazzi che compongono un gruppo: questi possono essere scelti in
$C_(20,6)$ modi, ovvero $((20),(6))$ modi. L’ordine non conta infatti, i gruppi differiscono solo per qualità.
Scelti $6$ ragazzi qualsiasi, decide di chiamarne altri $6$ per formare il secondo gruppo.
A questo punto questi $6$ possono essere scelti tra i rimanenti $14$ (infatti un gruppo è già determinato)
I possibili modi sono pertanto $((14),(6))$
Mancano $8$ ragazzi all’appello.
L’insegnante ne sceglie $4$. Le possibili combinazioni sono date da
$((8),(4))$
I restanti $4$ possono essere scelti in un modo solo.
Pertanto le possibili configurazioni sono
$((20),(6))*((14),(6))*((8),(4))= 20!/(6!·6!·4!·4!)=8147739600$
2)
Supponiamo che dobbiamo scegliere prima i due rappresentanti, e successivamente i due vice.
I due rappresentanti possono essere scelti in
$C_(20,2)$ modi.
A questo punto i vice possono essere scelti tra i 18 rimanenti in
$C_(18,2)$ modi
Le configurazione possibili sono dunque
$((20),(2))*((18),(2))=29070$
Alternativamente potevamo dire che i $4$ ragazzi addetti alla rappresentanza sono selezianabili in
$((20),(4))$
e tra di essi le possibili configurazioni "primi rappresentanti e vice" sono
$((4),(2))$
Peranto le configurazioni totali sono
$((20),(4))*((4),(2))=29070$
- Calcolo combinatorio