Equazioni irrazionali

Risoluzioni d’esempio

In matematica un equazione irrazionale è un equazione in cui l’incognita compare come argomento di una radice. In generale si può scrivere che sarà del tipo:

Quindi l’incognita x in questo caso deve proprio essere argomento della radice enne-sima. Facciamo un esempio:

 è un equazione irrazionale;

 è un equazione irrazionale.

Prima di iniziare a risolvere questa tipologia di equazioni, è necessario fare distinzione tra le equazioni irrazionali con radice ad indice pari e quelle con radice ad indice dispari. Vediamo come comportarci in entrambi i casi.

Radice di indice pari:

Può sembrare complicato risolvere questo tipo di equazioni, in realtà si devono seguire solo alcuni passaggi molto semplici.

• Verificare la condizione di esistenza della soluzione;

f(x)≥0

Perché sappiamo che non esistono radici ad indice pari di numeri negativi.

• Eleviamo entrambi i membri per la potenza della radice (così da eliminarla);

• Risolviamo l’equazione così ottenuta;
• Verifichiamo che tali soluzioni soddisfino l’equazione di partenza andando a sostituire;

EQUAZIONI IRRAZIONALI: ESEMPIO

Vediamo ora un esempio per chiarezza:

La radice avrà soluzioni solo per:

5x+1≥0   ?   x≥-1/5

Eleviamo entrambi i membri:

5x+1=16

La soluzione sarà:

x=3

Soddisfa l’equazione di partenza?

√(5?3+1)=4   ?   √16=4   ?   4=4

L’equazione irrazionale è verificata.

 

Facciamo un altro esempio per capire meglio:

√(4-x^2 )=x

4-x²≥0   ?  -2≤x≤2

4-x²=x^2

La soluzione sarà:

2x²=4   ?   x²=2   ?   x=±√2

Entrambe le soluzioni trovare rientrano nel campo di esistenza della radice quadra, ma saranno entrambe soluzione dell’equazione irrazionale? Andiamo a sostituire:

 

Radice ad indice dispari:

Il procedimento è più o meno lo stesso di quando si ha indice pari, ma con alcune semplificazioni. Infatti considerando che le radici dispari ammettono radicando anche di segno negativo e che elevando entrambi i membri per l’indice della radice si otterrà una equazione equivalente alla prima, possiamo tranquillamente saltare i punti 1. e 4.

EQUAZIONI IRRAZIONALI: ESEMPIO

Vediamo un esempio:

?(1+3x)=-2

eleviamo entrambi i membri al cubo:

1+3x=(-2)³    ?   1+3x=-8

risolviamo l’equazione ottenuta:

3x=-9   ?   x=-3

Queste sono le basi per poter risolvere un equazione irrazionale.