Funzione esponenziale

FUNZIONE ESPONENZIALE: DEFINIZIONE, GRAFICO E DOMINIO

Le funzioni esponenziali, in particolare quelle che hanno per base il numero di Eulero e, rivestono grande importanza nell’analisi matematica, le ritroviamo a partire dalla trigonometria fino alle equazioni differenziali e gli sviluppi di Taylor.

Ci preoccupiamo ora di definire la funzione esponenziale, di valutarne il grafico e le principali caratteristiche.
Definizione:

x∈R  la legge che associa x→a^X , con a>0 e a≠1,è detta funzione esponenziale

Se a fosse uguale ad 1 allora la funzione sarebbe costantemente uguale ad 1, ovvero una retta.
Dobbiamo però fare una diversa trattazione per il caso in cui a appartenga all’intervallo (0,1) o (1,+∞).

y=a^X  con 0<a<1

La funzione esponenziale avrà un andamento del genere:

Se sostituiamo alla funzione il valore che identifica l’asse delle ordinate (x=0) vediamo che la funzione assume il valore y=1.
Caratteristiche generali:

• Dominio: (-∞,+∞) quindi tutto R;
• Codominio: (0,+∞) quindi R+;
• Sempre positiva,  y=a^x>0 ∀ x ∈R;
• Monotona decrescente;
• Continua e derivabile su tutto R;
• I limiti agli estremi del dominio:
  
  questo ci indica che y=0 è un asintoto orizzontale destro della funzione, ovvero la funzione si avvicina indefinitamente all’asse delle ascisse per x maggiori di 0.

y=a^x  con a>1

In questo caso l’andamento sarà speculare:

Anche qui per x=0 (intersezione con l’asse y) la funzione varrà 1.
Caratteristiche generali:

• Dominio: (-∞,+∞), tutto R;
• Codominio: (0,+∞) quindi R+;
• Sempre positiva, y=a^x>0 ∀ x∈R;
• Monotona crescente;
• Continua e derivabile su tutto R;
• I limiti agli estremi del dominio:
  
  quindi y=0 sarà asintoto orizzontale sinistro, la funzione si avvicinerà indefinitamente all’asse delle ascisse per x minori di 0.

Una delle funzioni esponenziali più importanti è quella che ha per base il numero di Eulero e ed esponente la variabile indipendente x.

y=e^x

Tale scelta è dettata dal fatto che in questo modo la funzione come tutte le potenze passa per il punto (0,1), ma ha anche pendenza unitaria; questo comporta che la derivata della funzione esponenziale è la funzione stessa (aspetto molto importante nell’analisi matematica).