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I numeri primi I numeri primi sono quei particolari numeri che sono divisibili solo per 1 e per sé stessi, come per esempio 5 o 7. All’apparenza sono solo un insignificante sottoinsieme dei numeri naturali, in realtà questo tipo di numeri assume un’incredibile importanza nella matematica. Il motivo principale di questa importanza è il fatto che ogni numero è scomponibile in un unico modo come prodotto di numeri primi, questo teorema prende il nome di teorema fondamentale dell’aritmetica, la dimostrazione è talmente semplice che la lascio come divertimento a chi sia interessato. Attualmente la matematica studia moltissimi i numeri primi, infatti molti teoremi basta dimostrarli solo per i numeri primi per dimostrarli per tutti i naturali (come il teorema di Fermat). Fin dagli antichi greci si è cercato un procedimento per ricavare numeri primi, evitando di cercare i divisori di ogni numero naturale, ma Gauss dimostrò che tale procedimento non esiste. Una cosa interessante dell’insieme dei numeri primi è il fatto che possiede la cardinalità del numerabile (vedi infinito). Prima di vedere qualche teorema su questi numeri vediamo alcune curiosità. Per lungo tempo si è creduto che i numeri nella forma 2^(2^n)+1 fossero sempre primi, ma si è scoperto che questo è vero fino a n=5, tra gli altri valori di n non è ancora stato trovato un valore che renda l’espressione un numero primi, si sospetta che non esista, ma non si ha ancora nessuna dimostrazione; questi particolari numeri primi prendono il nome di numeri primi di Fermat,e hanno una particolare importanza per determinare se un poligono regolare di n lati, con n che è un numero primi, sia o meno costruibile con riga e compasso. Considerate questi numeri 31, 331, 3331, 33331, 333331… sembrano essere tutti numeri primi, trovate fino a quando essi sono veramente primi! Enuncio ora, senza dimostrazione dimostrazione qualche teorema sui numeri primi. Ogni numero primi si può scrivere nella forma 4*n + 1 o 4*n -1, dove n può essere un intero qualsiasi. I numeri primi della prima categoria sono sempre scrivibili come somma di due quadrati perfetti, i secondi come differenza di due quadrati (la differenza dei quadrati di due numeri consecutivi è sempre un numero dispari, provate a scoprire di quale numero si tratta e trovate un teorema simile per i cubi). Tra n e due 2*n c’è sempre almeno un numero primo, la dimostrazione di questo teorema è abbastanza difficile, ma molto bella, in quanto utilizza una funzione matematica, il logaritmo, che apparentemente non ha nulla a che fare con i numeri primi. La frequenza con cui i numeri primi si trovano prima di un numero n è data circa dalla formula n/ln(n), in realtà se si prova a fare i calcoli si trova che questa formula sovrastima il numero vero di numeri primi, tuttavia è possibili dimostrare che prima del numero 10^(10^(10^34)) il numero di numeri primi è sottostimato. (segue nel file da scaricare)
- Aritmetica