L'estrazione della radice quadrata
Estrarre una radice quadrata significa trovare la base dati il valore della potenza e l'esponente. In sostanza, si tratta dell'operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza
L'elevamento a potenza può essere alla seconda, alla terza, ecc, cosi come l'estrazione della radice può essere quadrata, cubica, ecc.
Ad esempio, $sqrt{25}=5$ perchè $5^2=25$
Dunque, possiamo dire che la radice quadrata di un numero detto radicando è data da un altro numero che elevato al quadrato mi dà il radicando.
I numeri per i quali esiste la radice quadrata si dicono quadrati perfetti e la loro radice quadrata di dice esatta
Esempio
- $sqrt{16}=4quad sqrt{64}=8$
- $sqrt{0,04}=0,2quad sqrt{3,24}=1,8$
- $sqrt{frac{9}{16}}=frac{3}{4}quad sqrt{frac{81}{49}}=frac{9}{7}$
Non sempre, però, la radice quadrata di un numero è esatta, cioè non sempre esiste un numero razionale che elevato al quadrato mi dà il radicando.
$sqrt{23}=?quad sqrt{0,4}=?quad sqrt{frac{37}{13}}=?$
Per riconosce se la radice è esatta o meno, devo scomporre il radicando in fattori primi e vedere con quale esponente compaiono. Se il radicando si scompone in fattori primi con esponente pari, la radice è esatta altrimenti, se il radicando ha almeno un fattore con esponente dispari, la radice non sarà esatta
Radici esatte: esempio
Alcuni esempi di radici esatte:
- 1) $sqrt{16}=sqrt{2^4}=4$
- 2) $sqrt{25}=sqrt{5^2}=5$
- 3) $sqrt{100}=sqrt{2^2cdot 5^2}=10$
Radici non esatte: esempio
Alcuni esempi di radici non esatte:
- 1) $sqrt{15}=sqrt{3cdot 5}$
- 2) $sqrt{24}=sqrt{2^3cdot 3}$
- 3) $sqrt{12}=sqrt{2^2cdot 3}$
Per estrarre radici non esatte si effettua un'approssimazione per eccesso o per difetto.
Approssimazione per eccesso o per difetto delle radici
Approssimiamo per eccesso e per difetto $sqrt{15}$
Per approssimarla per eccesso, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più piccolo che, elevato al quadrato ci dà un numero maggiore di 15? Tale numero è $4$ perchè $4^2=16>15$.
Per approssimarla per difetto, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più grande che, elevato al quadrato ci dà un numero minore di 15? Tale numero è $3$ perchè $3^2=9<15$.
Possiamo concludere dicendo che $4$ è l'approssimazione per eccesso di $sqrt{15}$, mentre $3$ è l'approssimazione per difetto di $sqrt{15}$.
Esercizi sulle radici quadrate
Estrarre le seguenti radici approssimando eventualmente sia per eccesso che per difetto.
Esempio 1
$sqrt{64}$
Estrazione: $sqrt{64}=sqrt{2^6}=2^3=8$
Esempio 2
$sqrt{56}$
Estrazione: $sqrt{56}=sqrt{2^3cdot 7}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $8$, per difetto diventa $7$.
Esempio 3
$sqrt{48}$
Estrazione:$sqrt{48}=sqrt{2^4cdot 3}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $7$, per difetto diventa $6$.
Esercizi da svolgere
Estrarre le seguenti radici quadrate:
1) $sqrt{81}$
2) $sqrt{128}$
3) $sqrt{104}$
4) $sqrt{221}$
5) $sqrt{76}$