A cura di: Gianni Sammito
Risolvere
$z^2 – i bar{z} = 0$
per $z in mathbb{C}$, dove $bar{z}$ indica il compesso coniugato di $z$.
Detto $rho$ il modulo di $z$ e $theta$ la sua fase, risulta
$z = rho e^{i theta}$
$z^2 = rho^2 e^{i 2 theta}$
$bar{z} = rho e^{-i theta}$
pertanto l'equazione diventa
$rho^2 e^{i 2theta} = i rho e^{-i theta}$
Osservando che $z=0$ è soluzione, dividendo poi per $rho$ e moltiplicando ambo i membri per $e^{i theta}$, si ottiene
$rho e^{i 3 theta}= i$
Dato che
$i = e^{i frac{pi}{2}}$
l'equazione diventa
$rho e^{i 3 theta}= e^{i frac{pi}{2}}$
da cui
$rho = 1$
$3 theta = frac{pi}{2} + 2 k pi quad implies quad theta = frac{pi}{6} + frac{2}{3} k pi$, $k = 0, 1, 2$
Dunque le soluzioni dell'equazione sono
$z = 0$
$z = e^{i (frac{pi}{6} + frac{2}{3} k pi)}$, $k = 0, 1, 2$
FINE
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