$sin^2x(1+tan^2x)+cos^2x(1+cot^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

A cura di: Stefano Sannella

Si dimostri l’identità seguente

Appare più agevole ricondurre il primo membro al secondo, piuttosto che il contrario, dato che al secondo membro vi è un solo addendo

Dobbiamo riflettere sulle parentesi.

Osserviamo che

$1+tan^2x=1+(sin^2x)/(cos^2x)$

Svolgendo la somma

$(cos^2x+sin^2x)/(cos^2x)$

Però

$sin^2x+cos^2x=1$

quindi l’espressione iniziale diventa

$1/(cos^2x)$

In modo analogo, si mostra che vale anche l’identità

$1+cot^2x=1/(sin^2x)$

La semplice dimostrazione di quest’ultima la lasciamo al lettore.

L’espressione iniziale

$sin^2x(1+tan^2x)+cos^2x(1+cot^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

diviene dunque

$sin^2x(1/(cos^2x))+cos^2x(1/(sin^2x))=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

ovvero

$(sin^2x)/(cos^2)+(cos^2x)/(sin^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

Toccando sempre e solo il primo membro

$tan^2x+cot^2x=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

$tan^2x+1/(tan^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

Sommando

$(tan^4x+1)/(tan^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

L’identità è pertanto dimostrata.

FINE