A cura di: Stefano Sannella
Si dimostri l’identità seguente
$sin^2x(1+tan^2x)+cos^2x(1+cot^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$
Appare più agevole ricondurre il primo membro al secondo, piuttosto che il contrario, dato che al secondo membro vi è un solo addendo
Dobbiamo riflettere sulle parentesi.
Osserviamo che
$1+tan^2x=1+(sin^2x)/(cos^2x)$
Svolgendo la somma
$(cos^2x+sin^2x)/(cos^2x)$
Però
$sin^2x+cos^2x=1$
quindi l’espressione iniziale diventa
$1/(cos^2x)$
In modo analogo, si mostra che vale anche l’identità
$1+cot^2x=1/(sin^2x)$
La semplice dimostrazione di quest’ultima la lasciamo al lettore.
L’espressione iniziale
$sin^2x(1+tan^2x)+cos^2x(1+cot^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$
diviene dunque
$sin^2x(1/(cos^2x))+cos^2x(1/(sin^2x))=(tan^4x+1)/(tan^2x)$
ovvero
$(sin^2x)/(cos^2)+(cos^2x)/(sin^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$
Toccando sempre e solo il primo membro
$tan^2x+cot^2x=(tan^4x+1)/(tan^2x)$
$tan^2x+1/(tan^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$
Sommando
$(tan^4x+1)/(tan^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$
L’identità è pertanto dimostrata.
FINE
- Trigonometria