$(tan2alpha+sin2alpha)/(cos^2alpha)=(tan2alpha-sin2alpha)/(sin^2alpha)$

A cura di: Stefano Sannella

Dimostrare l’esattezza della seguente identità

Iniziamo a operare al primo membro.

$(tan2alpha+sin2alpha)/(cos^2alpha)$

Poichè sappiamo che vale

$tanalpha=sinalpha/(cosalpha)$ esso diventa

$((sin2alpha)/(cos2alpha)+sin2alpha)/(cos^2alpha)$

ovvero, moltiplicando numeratore e denominatore per $cosalpha$, otteniamo

$(sin2alpha+cos2alphasin2alpha)/(cos2alpha*cos^2alpha)$

che diviene, dopo aver raccolto $sin2alpha$ al numeratore,

$(sin2alpha)/(cos2alpha)*(1+cos2alpha)/(cos^2alpha)

cioè, sapendo che $cos2alpha=2cos^2alpha-1$,

$tan2alpha*(1+2cos^2alpha-1)/(cos^2alpha)$

che diviene

$2*tan2alpha$

dopo aver eliminato $1$ e $-1$ e aver semplificato $(2cos^2alpha)/(cos^2alpha)=2$

Cerchiamo ora di scrivere opportunamente il secondo membro

$(tan2alpha-sin2alpha)/(sin^2alpha)$

Facilmente, per considerazione fatte anche prima, si ottiene

$((sin2alpha)/(cos2alpha)-sin2alpha)/(sin^2alpha)$

da cui

$(sin2alpha-cos2alphasin2alpha)/(cos2alpha*sin^2alpha)$

ovvero

$(sin2alpha)/(cos2alpha)*(1-cos2alpha)/(sin^2alpha)$

ora, ricordando che $1-cos2alpha=2sin^2alpha$ si giunge a

$tan2alpha*(2sin^2alpha)/(sin^2alpha)$

che diventa facilmente

$2*tan2alpha$

Entrambi i membri sono stati ricondotti alla stessa forma, pertanto l’identità è vera.

FINE