A cura di: Stefano Sannella
Si mostri la validità dell’identità seguente
$(tan5alpha-tan3alpha)/cosalpha=(2sinalpha)/(cos3alphacos5alpha)$
Partiamo dal primo membro, cercando di ricondurci al secondo.
$(tan5alpha-tan3alpha)/cosalpha=((sin5alpha)/(cos5alpha)-(sin3alpha)/(cos3alpha))/cosalpha=$
sapendo che $tanbeta=(sinbeta)/cosbeta$
Eseguendo il denominatore comune al numeratore della frazione, si ottiene
$(sin5alphacos3alpha-sin3alphacos5alpha)/(cos5alphacos3alpha)*1/cosalpha$
il che equivale a
$(sin5alphacos3alpha-sin3alphacos5alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)$
Applicando ora al numeratore la formula di Werner
$sinxcosy=1/2(sin(x+y)+sin(x-y))$
otteniamo
$(1/2(sin8alpha+sin2alpha)-1/2(sin8alpha+sin(-2alpha)))/(cosalphacos3alphacos5alpha)$
Ricordando che il seno è una funzione dispari, cioè vale
$sinx=-sin(-x)$ abbiamo che $-sin(-2alpha)=sin2alpha$
Perciò
$(1/2sin8alpha+1/2sin2alpha-1/2sin8alpha+1/2sin2alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=$
Sommando al numeratore abbiamo
$=(1/2sin2alpha+1/2sin2alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=$
$=(sin2alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=(2sinalphacosalpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=$
$=(2sinalpha)/(cos3alphacos5alpha)$
Si è dunque mostrato che il primo membro è equivalente al secondo.
FINE
- Trigonometria