Teorema di Talete

TEOREMA DI TALETE

Il teorema di Talete è uno tra i più importanti della geometria. Come si capisce dal nome fu attribuito a Talete, filosofo greco, a cui sono legati anche altri teoremi geometrici come quello del triangolo rettangolo inscritto in una semi circonferenza. Qui ci occuperemo di introdurre quello relativo alla proporzionalità tra segmenti, ma vediamone l’enunciato:

“Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali formano due classi di segmenti direttamente proporzionali.”

Vediamo in pratica cosa voglia dire questo teorema di Talete.
Le rette a, b e c fanno parte del fascio di rette e le due trasversali r e q le tagliano nei punti A, B, C, A’, B’ e C’. Il teorema afferma che il rapporto tra i segmenti omologhi di una e dell’altra trasversale è costante. Possiamo scrivere dunque:

Inoltre godranno di questa proprietà anche i segmenti somma, quindi:

Dimostriamo il tutto sfruttando un triangolo ABC tagliato da una retta parallela al lato BC, il tutto si può vedere come rette parallele tagliate da due trasversali.

Congiungiamo i punti D e C ed i punti E e B, così da formare due angoli equivalenti per base e altezza che sono: BDE e CDE. In riferimento alle aree allora possiamo scrivere:

A_BDE:A_ADE=A_CDE:A_ADE

Ma avendo i due triangoli CDE e ADE la stessa altezza, allora il rapporto tra le aree è uguale al rapporto tra le basi:

A_BDE:A_ADE=BD:DA

La stessa cosa si può dire dei triangoli BDE e ADE.

A_CDE:A_ADE=CE:AE

Unendo il tutto abbiamo dimostrato il teorema di Talete:

BD:DA=CE:AE

Come corollario del teorema di Talete, avremo: “in un triangolo qualsiasi, una retta parallela ad uno dei lati traglia proporzionalmente gli altri due”. 

TEOREMA DI TALETE: ESERCIZIO

Tre rette parallele formano su una trasversale due segmenti consecutivi di misura 7 e 8 cm, al segmento somma di questi due corrisponde su un’altra trasversale uno che misura 105 cm. Determinare le misure dei segmenti sopra la seconda trasversale.

Vediamo la seguente immagine come puramente illustrativa, le misure non sono proporzionali a quanto si vede in figura.

Dati: AB=7; BC=8; A’C’=105

Le incognite sono: A’B’ e B’C’.

Sappiamo che:

A’ B’+B’ C’=105

Per il teorema di Talete abbiamo:

Unendo le due equazioni abbiamo un sistema con due equazioni e due incognite, facilmente risolvibile, da cui si trovano i due segmenti richiesti:

A’ B’ = 49

B’ C’ = 56