A cura di: Gianni Sammito

Si consideri un dado a $6$ facce: su tre facce è impresso il numero $1$; su due facce il numero $3$ e su una faccia il numero $6$. Si definisca la variabile aleatoria discreta $X$ corrispondente al numero ottenuto da un lancio del dado.

 

a) Determinare la funzione densità di probabilità di $X$.

 

b) Determinare il valroe attesi $m_X = E[X]$ e la varianza $E[(X – m_X)^2]$ di un singolo lancio.

 

Si consideri ora la variabile aleatoria $Z = X_1 + X_2$ corrispondente alla somma dei punteggi del lancio di due dadi $X_1$ e $X_2$, con le stesse caratteristiche del dado precedente.

 

c) Determinare la funzione densità di probabilità di $Z$

 

d) Calcolare la probabilità che $Z$ sia maggiore di $8$.

 

e) Calcolare la probabilità che $Z$ sia maggiore di $8$, sapendo che almeno uno dei due dati ha dato come esito il numero $3$.


Dato che $X$ è una variabile aleatoria scalare, la sua densità di probabilità vale
 
$f_{X}(k) = P(X = k) = {(frac{1}{2}, "se " k = 1),(frac{1}{3}, "se " k = 3),(frac{1}{6}, "se " k = 6),(0, "altrimenti"):}$
 
Quindi il valor media risulta pari a
 
$m_X = sum_{k = 0}^{+infty} = k f_{X}(k) = frac{1}{2} + 3 cdot frac{1}{3} + 6 cdot frac{1}{6} = frac{1}{2} + 2 = frac{5}{2}$
 
La varianza invece vale
 
$E[(X – m_X)^2] = E[X^2 – 2 m_X X + m_{X}^2] = E[X^2] – 2m_X E[X] + m_{X}^2 = E[X^2] – m_{X}^2=$
$=sum_{k=0}^{+infty} k^2 f_{X}(k) – frac{25}{4} = frac{1}{2} + 9 cdot frac{1}{3} + 36 cdot frac{1}{6} – frac{25}{4} = frac{1}{2} + 9 – frac{25}{4} = frac{2 + 36 – 25}{4} = frac{13}{4}$
 
$Z = X_1 + X_2$, pertanto
 
$f_{Z}(h) = P(Z = h) = {(frac{1}{4}, "se " h = 2),(frac{1}{3}, "se " h = 4),(frac{1}{6}, "se " h = 7),(frac{1}{9}, "se " h = 6),(frac{1}{9}, "se " h = 9),(frac{1}{36}, "se " h = 12),(0, "altrimenti"):}$
 
tenendo conto che
 
$P(Z = h) = P({X_1 = k} cap {X_2 = h – k}) + P({X_1 = h – k} cap {X_2 = k})$
 
La probabilità che $Z$ sia maggiore di $8$ vale
 
$P(Z > 8) = sum_{h = 9}^{+infty} f_{Z}(h) = frac{1}{9} + frac{1}{36} = frac{5}{36}$
 
La probabilità che $Z$ sia maggiore di $8$, tenendo conto che un dado ha dato come esito $3$, vale
 
$P({X_1 = 3} cap {X_2 = 6}) + P({X_1 = 6} cap {X_2 = 3}) = frac{1}{18} + frac{1}{18} = frac{1}{9}$
 
FINE