A cura di: Gianni Sammito

Un dado viene lanciato 3 volte. Qual è la probabilità di ottenere 6 almeno una volta? Quante volte deve essere lanciato il dado perché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90%?

Sia $A$ l'evento "nei tre lanci è uscito 6 almeno una volta". L'evento complementare, indicato con $bar{A}$, rappresenta l'evento  "nei 3 lanci il 6 non è mai uscito". Risulta banalmente
 
$P(bar{A}) = (frac{5}{6})^3$
 
dato che i tre lanci sono eventi fra loro indipendenti. Ricordando che
 
$P(A) + P(bar{A}) = 1$
 
la probabilità richiesta alla prima domanda vale
 
$P(A) = 1 – (frac{5}{6})^3$
 
Ragionando analogamente, si deduce che la probabilità di ottenere 6 almeno una volta in $n$ lanci vale
 
$1 – (frac{5}{6})^n$
 
Per risolvere la seconda domanda è necessario trovare il più piccolo intero positivo $n$ tale che
 
$1 – (frac{5}{6})^n ge frac{9}{10}$
 
$(frac{5}{6})^n le frac{1}{10}$ (1)
 
Applicando il logaritmo in base $frac{5}{6}$ ad entrambi i membri, e ricordando che il logaritmo con base minore di $1$ è funzione monotona decrescente, la (1) diventa
 
$n ge log_{frac{5}{6}} (frac{1}{10})$
 
Secondo le formule di cambiamento della base dei logaritmi
 
$log_{frac{5}{6}} (frac{1}{10}) = frac{ln(frac{1}{10})}{ln(frac{5}{6})} approx frac{-2.3}{-0.18} approx 12.8$
 
Pertanto il numero minimo $n$ di lanci affinché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90% è
 
$n = 13$
 
FINE