A cura di: Gianni Sammito

Tre urne contengono $10$ palline ciascuna. Le palline nell'urna A sono contrassegnate con i numeri che vanno dall'1 al 10, quelle nell'urna B con i numeri che vanno dal 4 al 13, mentre quelle nell'urna C sono numerate dal 6 al 15. Si sceglie un'urna a caso (tra di loro equiprobabili) e si estrae una pallina. Sia $X$ la variabile aleatoria discreta corrispondente al numero stampato sulla pallina estratta.
 
a) Calcolare $P(X = 10)$, cioè la probabilità che il numero estratto sia $10$.
 
b) Calcolare $P(11 le X le 13)$, cioè la probabilità che il numero estratto sia compreso fra $11$ e $13$.
 
c) Calcolare la probabilità che si sia scelta l'urna A, sapendo che l'esito dell'estrazione è stato $X=5$.

Indicando con ${A}$, ${B}$, ${C}$, gli eventi "è stata scelta l'urna A/B/C", rispettivamente, risulta
 
$P(X=10) = P({A} cap {X=10}) +  P({B} cap {X=10}) + P({C} cap {X=10}) = P({X=10} | {A}) P(A) + P({X=10} | {B}) P(B) + P({X=10} | {C}) P(C) =$
$=frac{1}{10} cdot frac{1}{3} + frac{1}{10} cdot frac{1}{3} + frac{1}{10} cdot frac{1}{3} = frac{1}{10}$
 
$P(11 le X le 13) = P({11 le X le 13} cap {A}) + P({11 le X le 13} cap {B}) + P({11 le X le 13} cap {C})$
 
L'urna $A$ non contiene palline con un numero compreso fra $11$ e $13$, quindi  $P({11 le X le 13} cap {A}) = 0$, di conseguenza
 
$P(11 le X le 13) = P({11 le X le 13} | {B})P(B) + P({11 le X le 13} | {C})P(C) = frac{3}{10} cdot frac{1}{3} + frac{3}{10} cdot frac{1}{3} = frac{1}{5}$
 
$P({A} | {X=5}) = frac{P({X=5} cap {A})}{P(X=5)} = frac{P({X=5} | {A}) P(A)}{P({X=5} | {A}) P(A) + P({X=5} | {B}) P(B) + P({X=5} | {C}) P(C)}$ (1)
 
Considerando che l'urna $C$ non contiene palline numerate con $5$ la (1) diventa
 
$P({A} | {X=5}) = frac{frac{1}{10} cdot frac{1}{3}}{frac{1}{10} cdot frac{1}{3} + frac{1}{10} cdot frac{1}{3}} = frac{1}{2}$
 
FINE