Calcolo delle probabilità - variabili aleatorie discrete e densità di probabilità

A cura di: Gianni Sammito

Una moneta e un dado non truccati vengono lanciati ripetutamente. Qual è la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6?

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Definiamo due variabili aleatorie

 

$X = "numero del lancio in cui la moneta dà testa per la prima volta"$

 

$Y = "numero del lancio in cui il dado dà sei per la prima volta"$

 

Le due variabili aleatorie seguono queste densità di probabilità:

 

$p_{X}(h) = {(frac{1}{2} (frac{1}{2})^{h – 1}, "se h = 1, 2, 3, " ldots),(0, "altrimenti"):}$

 

$p_{Y}(k) = {(frac{1}{6} (frac{5}{6})^{k – 1}, "se k = 1, 2, 3, " ldots),(0, "altrimenti"):}$

 

Il lancio del dado e della moneta sono eventi indipendenti, quindi anche $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti, pertanto al densità di probabilità congiunta vale

 

$p_{X,Y}(h,k) = {((frac{1}{2})^{h} frac{1}{6} (frac{5}{6})^{k-1}, "se h, k = 1, 2, 3, "ldots),(0, "altrimenti"):}$ 

 

Calcolare la probabilità richiesta equivale a calcolare

 

$P(X < Y) = sum_{(i,j) in A} p_{X,Y}(i,j)$ (1)

 

dove $A = {(i,j) in mathbb{N}^{2}: i<j, i,j ne 0}$. La (1) si può scrivere come

 

$sum_{j=1}^{+infty} sum_{i=1}^{j-1} (frac{1}{6}) (frac{5}{6})^{j-1} (frac{1}{2})^{i} = frac{1}{6} sum_{j=1}^{+infty} (frac{5}{6})^{j-1} sum_{i=1}^{j-1} (frac{1}{2})^{i}$ (2)

 

Ricordando che

 

$sum_{k=1}^{N} q^{k} = frac{1 – q^{N+1}}{1 – q} – 1$

 

la (2) diventa

 

$frac{1}{6}  sum_{j=1}^{+infty} (frac{5}{6})^{j – 1} [frac{1 – (frac{1}{2})^j}{1 – frac{1}{2}} – 1] = frac{1}{6} sum_{j=1}^{+infty} (frac{5}{6})^{j-1} (2 – (frac{1}{2})^{j-1} – 1) = frac{1}{6} sum_{j=1}^{+infty}[(frac{5}{6})^{j-1} – (frac{5}{12})^{j-1}]$ (3)

 

Ponendo $j – 1 = m$ la (3) diventa

 

$frac{1}{6} sum_{m=0}^{+infty} [(frac{5}{6})^{m} – (frac{5}{12})^{m}]$ (4)

 

Osservando che

 

$sum_{k=0}^{+infty} q^{k} = frac{1}{1 – q}$ se $|q| < 1$

 

ed osservando che $sum_{m=0}^{+infty} (frac{5}{6})^m$ e $sum_{m=0}^{+infty} (frac{5}{12})^m$ sono entrambe convergenti, la (4) equivale a

 

$frac{1}{6} [sum_{m=0}^{+infty} (frac{5}{6})^m – sum_{m=0}^{+infty} (frac{5}{12})^m] = frac{1}{6}(frac{1}{1 – frac{5}{6}} – frac{1}{1 – frac{5}{12}}) = frac{1}{6} (6 – frac{12}{7}) = frac{1}{6} frac{30}{7} = frac{5}{7}$

 

Pertanto, la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6 è $frac{5}{7}$.

 

FINE