A cura di: Stefano Sannella
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Una massa è appoggiata su un blocco di ghiaccio semisferico. Si dà una piccola spinta e questa inizia a
slittare sul ghiaccio. Si dimostri che, se si suppone il ghiaccio privo di attrito, tale massa si stacca ad
un’altezza pari a 2R/3 (nell’istante del distacco la forza normale si deve annullare).
Prima di tutto occorre disegnare la semicirconferenza di centro $O$ e raggio $R$.
Prendiamo un punto $P$ su di essa che si trova ad altezza $h$ rispetto al diametro della circonferenza (preso a livello della terra), disegnamo la forza peso e scomponiamola nella componente radiale e tangenziale; tracciamo per maggiore chiarezza il raggio $OP$ e il segmento che da $P$ cade perpendicolarmente sul diametro, cioè il segmento lungo cui è diretta la forza peso; chiamiamo $alpha$ l’angolo tra questi due segmenti.
Considerazioni energetiche: all’inizio il corpo possiede energia potenziale pari a $m*g*R$. Arrivato nel punto $P$ ad altezza $h$ abbiamo che ha energia cinetica e una frazione dell’en. potenziale iniziale, ovvero $m*g*h + 1/2*m*v^2$. Dobbiamo esplicitare $v$.
Nel moto circolare abbiamo che $F_c=m*v^2/R$. La forza centripeta $F_c$ nel punto di stacco $P$ è data dalla componente radiale della forza peso, cioè $F_c=m*g*cos (alpha)$. E’ semplice rendersi conto che il coseno dell’angolo $alpha$ è esprimibile come $h/R$.
Quindi sapendo $F_c=m*v^2/R$ , $F_c=m*g*cos (alpha)$ e $cos (alpha)=h/R$ abbiamo che
$m*g*h/R=m*v^2/R$, ed eseguendo le semplificazioni otteniamo per $v^2$
$v^2=g*h$
Ricordiamo il bilancio energetico $m*g*R=m*g*h + 1/2*m*v^2$ , in cui sostituiamo la relazione appena trovata
$m*g*R=m*g*h + 1/2*m*g*h$
semplifichiamo e sommiamo per ottenre
$h=2/3R$
FINE
- Fisica