A cura di: Francesco Speciale

Dati i punti $A(-k;0); B(-2;0); C(2+k;2sqrt3)$, determinare $k$ in modo che sia $bar{AC}sim=bar{BC}$
e verificare poi che il triangolo $hat{ABC}$ così ottenuto è equilatero.


Svolgimento

Calcoliamo le misure dei segmenti $bar{AC}$ e $bar{BC}$.

$bar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((2+k-2)^2+(2sqrt3-0)^2)=sqrt(k^2+12)$
$bar(AC)=sqrt((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)=sqrt((2+k+k)^2+(2sqrt3-0)^2)=sqrt((2+2k)^2+(4*3))=$
$=sqrt(4+4k^2+8k+12)=sqrt(4k^2+8k+16)=sqrt(4(k^2+2k+4))=2sqrt(k^2+2k+4)$.

Troviamo il valore di $k$ che soddisfi la seguente equazione:
$2sqrt(k^2+2k+4)=sqrt(k^2+12)$;
Eleviamo ambo i membri al quadrato:
$4(k^2+2k+4)=k^2+12$;
$4k^2+8k+16=k^2+12$;
Semplificando
$3k^2+8k+4=0$
Risolviamo l’equazione di secondo grado:

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(4)^2-(3*4)=16-12=4$
$k_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(-4+-sqrt4)/3=(-4+-2)/3 => k_1=-2 ^^ k_2=-2/3$.

Pertanto per $k=-2 vv k=-2/3$, avremo $bar{AC}sim=bar{BC}$.
Infatti
Per k=-2, si ha:
$bar(B’C’)=sqrt(k^2+12)=sqrt((-2)^2+12)=sqrt(4+12)sqrt(16)=4$
$bar(A’C’)=2sqrt(k^2+2k+4)=2sqrt((-2)^2+2(-2)+4)=2sqrt(4-4+4)=2sqrt(4)=2*2=4$.

Per k=-2/3, si ha:
$bar(B”C”)=sqrt(k^2+12)=sqrt((-2/3)^2+12)=sqrt(4/9+12)sqrt((4+108)/9)=sqrt((112)/9)=4/3sqrt7$
$bar(A”C”)=2sqrt(k^2+2k+4)=2sqrt((-2/3)^2+2(-2/3)+4)=2sqrt(4/9-4/3+4)=2sqrt((4-12+36)/9)=sqrt((28)/9)=4/3sqrt7$.

Ora calcoliamo il segmento $bar{AB}$ e verifichiamo se per $k=-2 vv k=-2/3$, il triangolo $hat{ABC}$ è equilatero

Possiamo notare che il segmento $bar(AB)$ è parallello all’asse delle ascisse,
cioè $y_1=y_2=1+sqrt7$.
Pertanto la loro distanza è il valore assoluto della differenza delle loro ascisse
$d=|x_2-x_1|=|-2+k|=|k-2|$.

Per $k=-2$
$bar(A’B’)=|k-2|=|-2-2|=|-4|=4=bar{A’C’}=bar{B’C’}$.
Per $k=-2/3$
$bar(A”B”)=|k-2|=|-2/3-2|=|(-2-6)/3|=|-8/3|=8/3!=4/3=bar{A”C”}=bar{B”C”}$.

Pertanto per $k=-2$ si ha che $bar{AC}sim=bar{BC}$ e il triangolo $hat{A’B’C’}$
equivalente al triangolo $hat{ABC}$ è equilatero.