Dato il punto $P(1,7)$ trovare l'equazione delle rette passanti per esso e distanti 5 dall'origine.

A cura di: Stefano Sannella

Dato il punto $P(1,7)$ trovare l’equazione delle rette passanti per esso e distanti 5 dall’origine.

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Per indicare che passano per il punto P(1;7) usiamo l’equazione del fascio:

$y-y_0=m(x-x_0)$

e otterremo

$y=mx-m+7$

ovvero

$mx-y+7-m=0$

 

Per la distanza usiamo la formula:

$|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$

nel nostro caso abbiamo

$x_0=0$

$y_0=0$

$c=7-m$

$a=m$

$b=-1$

Perciò sostituendo tali valori nella formula abbiamo

$|m-7|/sqrt(m^2+1)=5*$

ovvero

$|m-7|=5*sqrt(m^2+1)$.

 

Ora se $m>=7->|m-7|=m-7$ per cui si ha

$m-7=5sqrt(m^2+1)$ da cui elevando al quadrato si ha:

$12m^2+7m-12=0->m=(-7+-25)/24->m_1=3/4,m_2=-4/3$ che sono entrambi non accettabili perchè minori di $7$.

 

se $m<7->|m-7|=7-m$ ed elevando al quadrato si ha

$12m^2+7m-12=0->m=(-7+-25)/24->m_1=3/4,m_2=-4/3$ che sono ora entrambi accettabili. per cui le rette sono

$y=3/4x+25/4$

$y=-4/3x+25/3$

 

Volendo potevamo anche evitare la discussione del valore assoluto ed elevare al quadrato entrambi i membri, ma abbiamo preferito ripassare anche un po’ di moduli.

FINE