A cura di: Stefano Sannella
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Le intersezioni delle rette $y=2/3x , y=-2/3x$ con l’ellisse generica $x^2/(a^2) + y^2/(b^2) = 1$
determinano un rettangolo il cui perimetro misura 20. Scrivere l’equazione dell’ellisse sapendo che passa per il punto $A(4,-1)$ e l’equazione della tangente in $A$.
Le intersezioni dell’ellisse con la retta $y=2/3 x$ fornisce i due punti di coordinate
$E=((3ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)),(2ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)))$
$B=(-(3ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)),-(2ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)))$
mentre le intersezioni dell’ellisse con la retta $y=-2/3 x$ fornisce i due punti di coordinate
$C=((3ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)),-(2ab)/(sqrt(4a^2+9b^2))),
D=(-(3ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)),+(2ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)))$.
Il perimetro è
$2p=2EC+2CB$
con $EC=|(4ab)/(sqrt(4a^2+9b^2))|$ e $CB=|(6ab)/(sqrt(4a^2+9b^2))|$
per cui $2p=(20|ab|)/(sqrt(4a^2+9b^2))$.
Imponendo $2p=20$ si ricava la condizione
$4a^2+9b^2-a^2b^2=0$.
Inoltre il passaggio per $ A(4,-1)$ comporta
$16b^2+a^2-a^2b^2=0$.
Bisogna dunque risolvere il sistema
${(4a^2+9b^2-a^2b^2=0),(16b^2+a^2-a^2b^2=0):}$
che risolto fornisce ${(a^2=55/3),(b^2=55/7):}$
Per cui l’ellisse ha equazione $(3/55)x^2+(7/55)y^2=1$
La retta passante per $A(4,-1)$ ha equazione $y=mx-4m-1$ (equazione del fascio).
Intersecando la retta con l’equazione dell’ellisse si ha
$3x^2+7(mx-4m-1)^2-55=0$ da cui, svolgendo i conti e ordinando,
$x^2(3+7m^2)-14x(m+4m^2)+(112m^2+56m-48)=0$ ed imponendo $Delta=0$ (condizione di tangenza)
si ha
$49(16m^4+8m^3+m^2)-(3+7m^2)(112m^2+56m-48)=0$ da cui
$49m^2-168m+144=(7m-12)^2=0$ e quindi, risolvendo, $m=12/7$ da cui la tangente ha equazione
$y=12/7 x-55/7$
FINE
- Geometria analitica