Dopo aver osservato se la seguente coppia di rette sono incidenti o coincidenti o parallele distinte

A cura di: Francesco Speciale

Dopo aver osservato se la seguente coppia di rette sono incidenti o coincidenti o parallele distinte,
determinare, se possibile, le loro intersezioni
$3x+2y=21$ e $2x-3y=1$

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svolgimento
Indichiamo con $r$ e$s$ rispettivamente le rette aventi equazione $3x+2y=21$ e $2x-3y=1$.
Ricordiamo che, prese due rette $r:=ax+by+c=0$ e $s:=a’x+b’y+c’=0$
$r,s$ sono incidenti $<=> a/a’!=b/b’$ con $(a’, b’!=0)$
$r,s$ sono coincidenti $<=> a/a’=b/b’=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$
$r,s$ sono parallele e distinte $<=> a/a’=b/b’!=c/c’$ con $(a’, b’, c’!=0)$.
Nel nostro caso abbiamo che:
$a=3, b=2, c=-21 ^^ a’=2, b’=-3, c’=-1$
quindi
$ a/a’=3/2 ; b/b’=-2/3 ; c/c’=21/1=21$.
Pertanto, essendo, $a/a’!=b/b’$ le due rette considerate sono incidenti.

Per determinare la loro intersezione, mettiamo a sistema le due equazionie risolviamolo
${(3x+2y=21),(2x-3y=1):}$;
${(3x+2y=21),(x=(1+3y)/2):}$;
${(3(1+3y)/2+2y=21),(x=(1+3y)/2):}$;
${((3+9y)/2+2y=21),(x=(1+3y)/2):}$;
${((3+9y+4y-42)/2=0),(x=(1+3y)/2):}$;
${(3+9y+4y-42=0),(x=(1+3y)/2):} {(13y=39),(x=(1+3y)/2):}$;
${(y=3),(x=(1+3*3)/2):} => {(y=3),(x=(10)/2=5):}$.
Quindi il punto d’intersezione delle due rette sarà il punto $P(5;3)$.