A cura di: Gianni Sammito

Si consideri la funzione

$f_{X}(x) = {(gamma^2 – frac{16}{9}x^2, "se " -frac{3}{4} gamma le x < frac{3}{4} gamma),(0, "altrimenti"):}$

in cui $gamma$ è un numero reale positivo.

a) Determinare il valore $gamma$ per cui $f_{X}(x)$ rappresenta effettivamente una funzione di densità di probabilità.

b) Sia $X$ una variabile aleatoria con densità di probabilità $f_{X}(x)$. Calcolare il valor medio $m_{X}$ e la varianza
$sigma_{X}^{2}$ di $X$.

$f_{X}(x)$ rappresenta una funzione di densità di probabilità se e solo se

 

$f_{X}(x) ge 0 quad forall x in mathbb{R}$ (1)

$int_{-infty}^{+infty} f_{X}(x) dx = 1$ (2)

Per $-frac{3}{4} gamma le x < frac{3}{4} gamma$ risulta $gamma^2 – frac{16}{9}x^2 ge 0$, quindi la (1) è sempre verificata per ogni $gamma in mathbb{R}$, pertanto non resta che studiare la condizione (2).

$int_{-infty}^{+infty} f_{X}(x) dx = int_{-frac{3}{4}gamma}^{frac{3}{4} gamma} (gamma^2 – frac{16}{9}x^2) dx = int_{-frac{3}{4} gamma}^{frac{3}{4} gamma} gamma^2 dx – int_{-frac{3}{4} gamma}^{frac{3}{4} gamma} frac{16}{9} x^2 dx =$

$= gamma^2 (frac{3}{4} gamma + frac{3}{4} gamma) – frac{16}{9}cdot frac{1}{3} [x^3]_{-frac{3}{4} gamma}^{frac{3}{4} gamma} =frac{3}{2} gamma^3 – frac{16}{27} (frac{27}{64} gamma^3 +frac{27}{64} gamma^3 ) =$

$= frac{3}{2} gamma^3 – frac{16}{27} cdot frac{27}{32} gamma^3= frac{3}{2} gamma^3 – frac{1}{2} gamma^3 = gamma^3$

 Imponendo la condizione (2) si trova:

 $gamma^3 = 1 implies gamma = 1$

Quindi

 $f_{X}(x) = {(1 – frac{16}{9}x^2, "se " -frac{3}{4}  le x < frac{3}{4}),(0, "altrimenti"):}$

Se $X$ è una variabile aleatoria con questa densità di probabilità, la sua media vale

$m_{X} = int_{-infty}^{+infty} x f_{X}(x) dx =int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} (x – frac{16}{9} x^3) dx =int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} x dx -int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} frac{16}{9} x^3 dx =$

$= frac{1}{2} (frac{9}{16} – frac{9}{16}) – frac{16}{9} cdotfrac{1}{4} (frac{81}{256} – frac{81}{256}) = 0$

Dunque $X$ è una variabile aleatoria a media nulla. Indicando con $E[cdot]$ l'operatore valore atteso, la varianza di $X$ vale

$sigma_{X}^{2} = E[(X – m_{X})^{2}] = E[X^2 – 2X m_{X} + m_{X}^2]$

Ricordando che $m_{X} = 0$ risulta

$sigma_{X}^{2} = E[X^2] = int_{-infty}^{+infty} x^2 f_{X}(x) dx =int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} (x^2 – frac{16}{9} x^4 ) dx =$

$= int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} x^2 dx – int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} frac{16}{9} x^4 dx = frac{1}{3} (frac{27}{64} + frac{27}{64}) – frac{16}{9} cdot frac{1}{5} frac{243}{1024} + frac{243}{1024} = $

$= frac{9}{32} – frac{16}{9} cdot frac{1}{5} cdot frac{243}{512} = frac{9}{32} – frac{27}{160} = frac{45}{160} – frac{27}{160} = frac{18}{160} = frac{9}{80}$

Quindi $sigma_{X}^{2} = frac{9}{80}$.