A cura di: Gianni Sammito
Si consideri la funzione
$f_{X}(x) = {(gamma^2 – frac{16}{9}x^2, "se " -frac{3}{4} gamma le x < frac{3}{4} gamma),(0, "altrimenti"):}$
in cui $gamma$ è un numero reale positivo.
a) Determinare il valore $gamma$ per cui $f_{X}(x)$ rappresenta effettivamente una funzione di densità di probabilità.
b) Sia $X$ una variabile aleatoria con densità di probabilità $f_{X}(x)$. Calcolare il valor medio $m_{X}$ e la varianza
$sigma_{X}^{2}$ di $X$.
$f_{X}(x)$ rappresenta una funzione di densità di probabilità se e solo se
$f_{X}(x) ge 0 quad forall x in mathbb{R}$ (1)
$int_{-infty}^{+infty} f_{X}(x) dx = 1$ (2)
Per $-frac{3}{4} gamma le x < frac{3}{4} gamma$ risulta $gamma^2 – frac{16}{9}x^2 ge 0$, quindi la (1) è sempre verificata per ogni $gamma in mathbb{R}$, pertanto non resta che studiare la condizione (2).
$int_{-infty}^{+infty} f_{X}(x) dx = int_{-frac{3}{4}gamma}^{frac{3}{4} gamma} (gamma^2 – frac{16}{9}x^2) dx = int_{-frac{3}{4} gamma}^{frac{3}{4} gamma} gamma^2 dx – int_{-frac{3}{4} gamma}^{frac{3}{4} gamma} frac{16}{9} x^2 dx =$
$= gamma^2 (frac{3}{4} gamma + frac{3}{4} gamma) – frac{16}{9}cdot frac{1}{3} [x^3]_{-frac{3}{4} gamma}^{frac{3}{4} gamma} =frac{3}{2} gamma^3 – frac{16}{27} (frac{27}{64} gamma^3 +frac{27}{64} gamma^3 ) =$
$= frac{3}{2} gamma^3 – frac{16}{27} cdot frac{27}{32} gamma^3= frac{3}{2} gamma^3 – frac{1}{2} gamma^3 = gamma^3$
Imponendo la condizione (2) si trova:
$gamma^3 = 1 implies gamma = 1$
Quindi
$f_{X}(x) = {(1 – frac{16}{9}x^2, "se " -frac{3}{4} le x < frac{3}{4}),(0, "altrimenti"):}$
Se $X$ è una variabile aleatoria con questa densità di probabilità, la sua media vale
$m_{X} = int_{-infty}^{+infty} x f_{X}(x) dx =int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} (x – frac{16}{9} x^3) dx =int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} x dx -int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} frac{16}{9} x^3 dx =$
$= frac{1}{2} (frac{9}{16} – frac{9}{16}) – frac{16}{9} cdotfrac{1}{4} (frac{81}{256} – frac{81}{256}) = 0$
Dunque $X$ è una variabile aleatoria a media nulla. Indicando con $E[cdot]$ l'operatore valore atteso, la varianza di $X$ vale
$sigma_{X}^{2} = E[(X – m_{X})^{2}] = E[X^2 – 2X m_{X} + m_{X}^2]$
Ricordando che $m_{X} = 0$ risulta
$sigma_{X}^{2} = E[X^2] = int_{-infty}^{+infty} x^2 f_{X}(x) dx =int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} (x^2 – frac{16}{9} x^4 ) dx =$
$= int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} x^2 dx – int_{-frac{3}{4}}^{frac{3}{4}} frac{16}{9} x^4 dx = frac{1}{3} (frac{27}{64} + frac{27}{64}) – frac{16}{9} cdot frac{1}{5} frac{243}{1024} + frac{243}{1024} = $
$= frac{9}{32} – frac{16}{9} cdot frac{1}{5} cdot frac{243}{512} = frac{9}{32} – frac{27}{160} = frac{45}{160} – frac{27}{160} = frac{18}{160} = frac{9}{80}$
Quindi $sigma_{X}^{2} = frac{9}{80}$.
