A cura di: Stefano Sannella
E' dato il fascio di parabole
$y=(3-a)x^2+(2a+1)x+1-a$
Stabilire per quali valori del parametro $m$ si ottiene
1)Una parabola con concavità verso l'alto (e quindi verso il basso)
2)Una retta
3)Una curva passante per l'origine
4)Una parabola tangente all'asse delle ascisse
5)Una parabola che non interseca l'asse delle ascisse.
1)
E' noto che la concavità di una parabola del tipo $y=ax^2+bx+c$ dipende dalla positività o dalla negatività del parametro del termine al quadrato.
Avremo perciò una concevità rivolta verso l'alto quando
$3-a>0$
ovvero
$a<3$
Per i restanti valori, ovvero $a>3$ otteniamo concavità rivolta verso il basso.
2)
Una retta ha equazione $ax+by+c=0$.
Quindi l'annulamento del termine al quadrato, nel nostro fascio, farà in modo che otteniamo prorpio una retta.
$3-a=0$
$a=3$
Questa retta ha equazione $y=(2*3+1)x+1-3$ ovvero
$y=7x-2$
3)
Il passaggio per l'origine presuppone che il termine noto sia nullo, affinchè quando
$x=0$
anche
$y=0$
Nel nostro caso, occorre che
$1-a=0$ ovvero
$a=1$
4)
La tangenza all'asse delle $x$ è equivalente all'esistenza di un punto unico (due punti coincidenti) quando andiamo a intersecare la curva all'asse.
Ne nostro caso abbiamo
${(y=0),(y=(3-a)x^2+(1a+1)x+1-a):}$
Procedendo con i confronto
$(3-a)x^2+(2a+1)x+1-a=0$
Dobbiamo imporre l'esistenza di una e una sola radice che soddisfa quest'equazione (una sola radice corrisponde a un solo punto, una sola intersezione). Ponendo $Delta=0$ troviamo il nostro risultato
$Delta=(2a+1)^2-4(3-a)(1-a)=0$
che restituisce
$a=-11/12$
5)
La condizione della non intersezione, è che il delta dell'equazione risolvente che abbiamo incontrato nel punto 4), sia negativo.
Ovvero
$Delta=(2a+1)^2-4(3-a)(1-a)<0$
ovvero
$a<-11/12$
FINE
- Geometria analitica