A cura di: Stefano Sannella
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E’ dato il fascio di rette di equazione
$(k-2)x+3y-4k+2=0$
determinare:
1 – generatrici e centro del fascio, e se è proprio o improprio
2 – le rette $r_1$ ed $r_2$ che distano 2 dall’origine, verificando che una delle due è parallela all’asse delle ascisse.
1)
La prima cosa da notare è che si tratta di un fascio proprio di rette.
Infatti, il coefficiente angolare della retta, esprimibile come l’opposto del rapporto tra coefficiente della $x$ e della $y$, dipende direttamente da $k$.
Comunque, consideriamo il nostro fascio
$(k-2)x+3y-4k+2=0$
Svolgendo le parentesi, possiamo scriverlo in questa forma
$k(x-4)+3y-2x+2=0$
da cui facilmente vediamo che le due rette generatrici sono
$x-4=0$ e
$3y-2x+2=0$.
Il centro del fascio è facile da trovare, basta mettere a sistema le generatrici.
Sostituendo quindi $x=4$ nella seconda, otteniamo
$3y-2*4+2=0$ ovvero $y=2$.
Il centro del fascio è il punto a coordinate $(4,2)$
2)
Sappiamo che data una retta $ax+by+c=0$, la distanza da un punto $(x_0,y_0)$ è
$d=frac{|ax_0+by_0+c|}{sqrt(a^2+b^2)}$
Ora, in questo caso abbiamo che le coordinate $x_0$ e $y_0$ sono nulle (l’origine, quindi al numeratore rimane solo $c$).
Ma $c$ è il termine noto, che vale $-4k+2$.
Nel nostro caso $a$ vale $k-2$ e invece $b$ sarebbe $3$.
Quindi abbiamo che la nostra distanza, in questo caso, è data da
$d=(|-4k+2|)/(sqrt((k-2)^2+3^2))$
ma il problema impone $d=2$, quindi occorre risolvere
$2=(|-4k+2|)/(sqrt((k-2)^2+3^2))$
ovvero
$2sqrt((k-2)^2+3^2)=|2-4k|$
elevando al quadrato
$4(k^2-4k+13)=16k^2+4-8k$
Con semplici calcoli, arriviamo a
$12k^2=48$ ovvero
$k=2$ e $k=-2$
Sostituendo il primo valore nell’equazione originaria del fascio, abbiamo la retta
$y=2$, parallela all’asse $x$
Sostiruendo l’altro valore, abbiamo
$-4x+3y+6=0$
FINE
- Geometria analitica