A cura di: Stefano Sannella
{etRating 3}
Un giocatore di basket altro $2$ metri è fermo sul campo da gioco a $10$ metri dal canestro,quest’ultimo alto $3,05$ metri. Se egli lancia la palla con un angolo di $40$° rispetto all’orizzontale,quale dovrebbe essere la velocità inziale del lancio per centrare il canestro senza colpire il tabellone?
Procediamo in questo modo: le equazioni che descrivono il moto orizzontale e verticale nel sistema di riferimento più conveniente (ovvero origine nella mano del lancitore e canestro nel punto $P=(x_0, y_0)=(10m, 1,05m)$) sono:
$x=v_x t$
$y=v_y t – (1/2) g t^2$
Ossia un moto rettilineo uniforme combinato con uno uniformemente accelerato. Questo è un sistema di 2 equazioni legate da un parametro comune, il tempo.
Se lo si esplicita in una delle 2 e lo si sostituisce nell’altra, si ottiene l’andamento della y in funzione della x, ossia della traiettoria del moto.
Dopo aver ricavato il tempo dalla prima e aver sostituito nella seconda, si giunge con qualche conto a
$y=(v_y)/(v_x) x – (1/2) g/(v_x)^2 x^2$
che è l’equazione di una parabola passante per l’origine (mano del lanciatore), concavità verso il basso e con il vertice nel quadrante del canestro se $v_x$ e $v_y$ sono entrambe positive.
Ora noi non convine tenere $v_x$ e $v_y$, perchè il problema dice che la palla parte con un angolo di $40$°, quindi se chiamiamo $v$ il modulo della velocità, avremo $v_x = v cos alpha$ e $v_y = v sin alpha$.
Quindi sostituendo anche questo nella formula della traiettoria di prima, vediamo che le 2 incognite $v_x$ e $v_y$ si riducono solo all’incognita $v$:
$y = – g/(2 v^2 (cos alpha)^2) x^2 + tg alpha x$
A questo punto imponiamo che la traiettoria debba passare per il canestro, ovvero sostituisci $y = y_0$ e $x=x_0$ e poi ricaviamo l’unica incognita che è la velocità.
Esplicitando la velocità e sostituendo appunto le coordinate $y = y_0$ e $x=x_0$, si ha
$v^2 = – (g (x_0)^2)/((y_0 – tg alpha x_0) 2 (cos alpha)^2)$
e mettendo dentro i dati forniti, ovvero $alpha=40°, x_0=10m, y_0=1,05m$ e poi facendo la radice quadrata, otteniamo $10,65 m/s$.
Notiamo che l’estrazione di radice non è possibile se il membro di destra è negativo e quindi se la parentesi al denominatore è maggiore di 0.
Dovrà quindi valere $y_0 <= tan alpha x_0$, ossia, fissato alfa, il canestro può trovarsi solo sotto alla tangente alla parabola nella mano.
E ciò è ragionevolissimo, se ci si sofferma ad immaginare la scena.
FINE
- Fisica