IL PRINCIPIO DI D’ALEMBERT. D’Alembert fu un importante protagonista dell’illuminismo francese che diede il suo contributo in diversi ambiti che spaziano dalla matematica, all’astronomia fin anche alla filosofia.
In ambito fisico contribuì per esempio allo studio del moto dei fluidi, ricavò l’equazione alle derivate parziali del secondo ordine delle onde (equazione delle corde vibranti) oltre a formulare quello che è oggi conosciuto come principio di d’Alembert.
Tale principio di d’Alembert è un estensione del principio dei lavori virtuali (talvolta indicato con la sigla PLV) ed afferma che “un sistema è in equilibrio se alle forze F agenti su di esso si aggiungono le forze di inerzia Fi”.
Da notare che le forze esterne agenti sul sistema possono essere sia attive che resistenti (quindi reazioni vincolari, attriti, ed altro).
Questa formulazione fu enunciata da d’Alembert per un punto materiale, ma ovviamente è possibile estenderla ad un corpo esteso considerando che le equazioni sono applicate ad un punto materiale di massa pari a quella del corpo e situato nel centro di massa del corpo stesso.
Scrivere il secondo principio della dinamica:
F=ma da cui F-ma=0
Definiamo il vettore delle forze d’inerzia, che sono un sistema di forze fittizie, nel modo seguente:
Fi=-ma
Quindi avremo:
F+Fi=0
Facciamo qualche esempio.
Un corpo che si muove di moto uniforme su un piano orizzontale:
Avendo velocità costante la sua accelerazione è nulla, quindi ma=0 . Quindi la forza motrice è uguale a quella resistente.
F=R
Corpo con moto accelerato:
La forza motrice deve equilibrare la forza resistente e quella d’inerzia.
F=ma+R
Corpo con moto decelerato:
In questo caso manca la forza motrice e l’accelerazione è negativa, quindi la forza d’inerzia favorisce il moto mentre quella resistente lo ostacola come sempre.
ma=R
Il principio di d’Alembert per quanto possa sembrare solo semplici passaggi algebrici, in realtà nasconde un idea geniale. D’Alembert interpreta la seconda legge della dinamica come una condizione di equilibrio, ciò permette di trattare problemi di dinamica con le metodologie usate in Statica, quindi si semplifica notevolmente la trattazione.
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