A cura di: Stefano Sannella
Per questo problema si useranno equazioni semplici, per far si che vengano calcoli altrettanto facili e comprensibili.
Qualora altri problemi, dello stesso tipo, presentassero calcoli più complessi, non temete: il procedimento rimane tale e quale, e nell’equazione finale molti termini probabilmente si semplificano.
Data la parabola di equazione $y=x^2+1$
trovare la retta del fascio con centro nell’origine, che intersechi la parabola formando una corda di lunghezza $sqrt6$
Intanto identifichiamo l’equazione del fascio con centro nell’origine. E’ noto che essa è $y=mx$
Intersecando la parabola con il fascio, troveremo delle soluzioni (coordinate dei punti) dipendenti dal parametro $m$
${(y=x^2+1),(y=mx):}$
Procedendo per confronto, otterremo
$x^2+1=mx$
$x^2-mx+1=0$
risolvendo rispetto a x
$x=(m+sqrt(m^2-4))/4$
e
$x=(m-sqrt(m^2-4))/4$
Queste sono le ascisse dei due punti.
A questo punto, non serve trovare le ordinate, perchè possiamo usare un’utile formula pre la distanza, che è
$d=|x_1-x_2|*sqrt(1+m^2)$
In questo caso, le ascisse ci sono note (le abbiamo ricavate dal sistema) e il coefficiente angolare della retta cui appartengono è $m$ (appartengono a una retta variabile, con appunto coefficiente m)
La distanza imposta è $sqrt6$
Procediamo
$sqrt6=|(m+sqrt(m^2-4))/4-(m-sqrt(m^2-4))/4|*sqrt(1+m^2)$
che dopo qualche banale calcolo, e una quadratura, restituisce
$m^4-3m^2-28=0$
ponendo $m^2=t$ con $t>=0$ perchè è un quadrato
$t^2-3t-28=0$
che ha per soluzioni
$t=-4$
$t=7$
la prima è da scartare, la seconda ci porta a dire che
$m=+sqrt7$ e $m=-sqrt7$
Sostituendo tali valori nel fascio inziale $y=mx$ si finisce il problema
FINE
- Geometria analitica