A cura di: Francesco Speciale
Scrivere l’equazione di un’ellisse riferita riferita ai propri assi di simmetria sapendo
che un suo asse misura $6$ e che la distanza focale misura $4$.Verificare che il problema
quattro soluzioni.
Svolgimento
La distanza focale di un’ellisse riferita al centro e agli assi è data dal valore di $2c$.
Nel nostro caso $2c=4 => c=2$
Supponiamo che $2a=6$, sia l’asse maggiore dell’ellisse, sapendo che
$c^2=(a^2-b^2)$
sostituendo i valori noti, $c=2$ e $a=3$ otteniamo
$4=(9-b^2)$;
$-5=-b^2$; $b^2=5 => b=sqrt5$.
Quindi $b=sqrt5$ individua il semiasse minore dell’ellisse e pertanto, ricordando l’equazione canonica
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
si ha che per $a=3$ e $b=sqrt5$ l’ellisse avrà equazione
$(x^2)/9+(y^2)/(5)=1$
oppure
$(x^2)/5+(y^2)/9=1$
a secondo che i fuochi sono sull’asse $x$ o $y$.
Supponiamo ora che $2a=6$ sia l’asse minore dell’ellisse e quindi sarà
$c^2=b^2-a^2$, ovvero
$4=b^2-9 =>b^2=13 => b=sqrt(13)$.
Quindi $sqrt(13)$ indica il semiasse maggiore dell’ellisse e pertanto, ricordando l’equazione canonica
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
si ha che per $a=3$ e $b=sqrt(13)$ l’ellisse avrà equazione
$(x^2)/9+(y^2)/(13)=1$
oppure
$(x^2)/(13)+(y^2)/9=1$
a secondo che i fuochi sono sull’asse $x$ o $y$.
Pertanto il problema ammette quattro soluzioni.
- Geometria analitica