A cura di: Stefano Sannella
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Un’anatra vola orizzontalmente ad una quota $H = 25 m$ dal suolo con
velocità costante $v = 18 m/s$. All’istante $t = 0$ l’anatra si trova proprio sopra la testa di un
cacciatore, e questi spara un proiettile per colpirla. Calcolare:
a) il modulo vmin della minima velocità che deve avere il proiettile per colpire l’anatra
b) il relativo angolo di tiro $theta$ (alzo)
c) dopo quanto tempo il proiettile colpisce l’anatra.
Suggeriamo due modi per risolvere il problema. Il primo è il seguente
Scriviamo le leggi orarie lungo la componente verticale e quella orizzontale per quanto riguarda l’anatra.
Si ha
${(x=v*t),(y=H):}$
Per il proiettile invece
${(x=v_0 cos theta* t),(y=v_0 sin theta*t-1/2 g*t^2):}$
L’impatto del proiettile con l’anatra deve avvenire evidentemente all’altezza $H$, per cui poniamo $H=y$ per l’equazione del proiettile e otteniamo:
$H=v_0 sin theta*t-1/2 g*t^2$ (1)
Similmente l’ascissa dei due punti corpi all’impatto è la medesima quindi:
$v*t=v_0 cos theta* t rArr v=v_0 cos theta$
A questo punto notiamo che il problema richiede la velocità minima del proiettile
Quindi cerchiamo quella velocità per cui il proiettile colpisce l’anatra alla massima altezza della traiettoria (vertice della parabola). Quindi si scrive:
$v_y=v_0 sin theta – g*t$
Nel vertice della traiettoria parabolica, si ha che la componente verticale della velocità è nulla, dunque
$v_y=0$ pertanto
$t=(v_0 sin theta)/g$
tempo che impiega il proiettile a raggiungere la massima altezza, che deve essere H per cui scrivo sostituendo alla (1):
$(v_0 sin theta)^2/(2g)=H rArr v_0 sin theta= sqrt(2gH)$
a questo punto metto a sistema le due relazioni trovate che riguardano la velocità del proiettile con l’angolo:
${(v_0 sin theta=sqrt(2gH)),(v_0 cos theta = v):}$
da cui ottengo $sqrt(2gh)/v=tan theta rArr theta=50,88°
$v_0 = v / cos theta = 28,5 m/s$
$t= (v_0 sin theta)/(g)=2,26 s$
La seconda strada è la seguente:
Si può facilmente verificare che la parabola descritta dal proiettile ha equazione
$y=xtantheta-g/(2v^2cos^2theta)x^2
Quindi si ragiona così: dobbiamo trovare le intersezioni di questa parabola con la retta
$y=H$.
Quindi otteniamo l’equazione di secondo grado in $x$
$xtantheta-g/(2v^2cos^2theta)x^2-H=0$
Calcolando il delta si ha
$Delta=tan^2theta-(2gH)/(v^2cos^2theta)$
Affinché la parabola e la retta si intersechino, devo avere $Delta>=0$ quindi andiamo a prendere il caso limite ponendo
$Delta=0$
Fatto ciò, ottengo la relazione
$v^2sin^2theta=2gH$ quindi
$vsintheta=sqrt(2gH)$
A questo punto il procedimento da seguire è lo stesso della prima soluzione, visto che anche in quel caso si giunti a questa relazione.
D’altra parte il significato dell’ultima formula è chiaro: ricorda la conservazione dell’energia meccanica.
Mostra quindi che la componente verticale della velocità si azzera all’altezza $H$.
FINE
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